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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.10 - Ex. 4

Sejam T 1 x 1 ,   x 2 , x 3 =   ( 4 x 1 , - 2 x 1 +   x 2 ,   - x 1 - 3 x 2 ) e T 2 x 1 ,   x 2 , x 3 =   ( x 1 + 2 x 2 ,   - x 3 , 4 x 1 -   x 3 ) .

  1. Encontre as matrizes canônicas de T 1   e   T 2 .

  2. Encontre as matrizes canônicas de T 2 ∘   T 1 e T 1 ∘   T 2 .

  3. Use as matrizes encontradas na parte (b) para encontrar fórmulas para T 1 ( T 2 ( x 1 ,   x 2 ) ) e T 2 ( T 1 ( x 1 ,   x 2 ) ) .

Passo 1

  1. Vamos lá, primeiro vamos escrever T 1 e T 2 em forma de matriz.

    T 1 = x 1 x 2 x 3 ⏟ A ⋅ 4 0 0 - 2 1 0 - 1 - 3 0 ⏟ B

    Como A é a matriz de coordenadas B é a matriz canônica de T 1 assim:

    4 0 0 - 2 1 0 - 1 - 3 0 é a matriz canônica de T 1 .

    T 2 = x 1 x 2 x 3 ⏟ A ⋅ 1 2 0 0 0 - 1 4 0 - 1 ⏟ B

    Como A é a matriz de coordenadas B é a matriz canônica de T 2 assim:

    1 2 0 0 0 - 1 4 0 - 1 é a matriz canônica de T 2 .

    Passo 2

  2. Vamos lá, precisamos entender que a matriz canônica de T 1 ∘     T 2   é o resultado do produto escalar de A e B , Logo:

    T 1 ∘   T 2 = [ T 1 ] ⋅ [   T 2 ] = 4 0 0 - 2 1 0 - 1 - 3 0 ⋅ 1 2 0 0 0 - 1 4 0 - 1

    T 1 ∘   T 2 = 4 8 0 - 6 - 4 - 1 - 1 - 2 3

    Da mesma forma fazemos T 2 ∘     T 1 .

    T 1 ∘   T 2 = [ T 1 ] ⋅ [   T 2 ] = 1 2 0 0 0 - 1 4 0 - 1 ⋅ 4 0 0 - 2 1 0 - 1 - 3 0

    T 2 ∘   T 1 = 0 2 0 1 3 0 17 3 0

    Passo 3

Por fim precisamos somente tornar as matrizes canônicas T 1 ∘   T 2 e T 2 ∘   T 1 em equações novamente, vai ficar assim:

T 1 T 2 x 1 ,   x 2 , x 3 =   ( T 1 ∘   T 2 ) ⋅ x 1 x 2 x 3 = 4 8 0 - 6 - 4 - 1 - 1 - 2 3 ⋅ x 1 x 2 x 3

T 1 T 2 x 1 ,   x 2 , x 3 = ( 4 x 1 +   8 x 2 ,   - 6 x 1 -   4 x 2 - x 3 , - x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 )

Da mesma forma pra T 2 T 1 x 1 ,   x 2 .

T 2 T 1 x 1 ,   x 2 , x 3 =   ( T 2 ∘   T 1 ) ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 2 0 1 3 0 17 3 0 ⋅ x 1 x 2 x 3

T 2 T 1 x 1 ,   x 2 , x 3 =   ( 2 x 2 , x 1 +   3 x 2 ,   17 x 1 +   3 x 2 )

Resposta

  1. T 1 = 4 0 0 - 2 1 0 - 1 - 3 0               T 2 = 1 2 0 0 0 - 1 4 0 - 1

  2. T 1 ∘   T 2 = 4 8 0 - 6 - 4 - 1 - 1 - 2 3 , T 2 ∘   T 1 = 0 2 0 1 3 0 17 3 0

  3. T 1 T 2 x 1 ,   x 2 , x 3 = ( 4 x 1 +   8 x 2 ,   - 6 x 1 -   4 x 2 - x 3 , - x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 ) , T 2 T 1 x 1 ,   x 2 , x 3 =   ( 2 x 2 , x 1 +   3 x 2 ,   17 x 1 +   3 x 2 )
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