Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 24
a) No exercício resolvido anterior, suponha que , e sejam não-nulos, não necessariamente unitários. Pode-se ainda concluir que é base?
c) Mostre que, se , e são vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, então é LI. Vale o mesmo resultado para dois vetores?
Passo 1
Para resolver essa questão você deve ter dado uma olhada no exercício resolvido 9-9. Nele, se os ângulos entre os vetores, dois a dois, são , e e eles são unitários, provamos que eles são LI. No item (a), queremos saber se eles ainda seriam LI caso os vetores não fossem necessariamente unitários.
A resposta para isso isso é: sim, eles ainda seriam LI. Para mostrar isso basta lembrar que o que determina se um vetor é combinação linear de outro é sua direção, não sua norma. Assim, se um conjunto de vetores é LI, então o conjunto também é LI se os coeficientes forem não nulos.
Passo 2
Para o item (b), devemos mostrar que se três vetores são dois a dois ortogonais, então eles serão LI. Para fazer essa demonstração, vamos supor inicialmente que eles são unitários e depois usar o resultado do item (a) para generalizar o resultado.
Desta forma, sejam , e tais que
Para que o conjunto seja LI, a única solução da equação
deve ser .
Multiplicando a equação escalarmente por :
Fazendo a distributiva, obtemos
Fazendo o mesmo com :
Por fim, com :
Passo 3
No passo 2 provamos que se , e forem unitários e dois a dois ortogonais, eles são LI. Mas pelo que vimos no item (a), se mudarmos a norma dos vetores mantendo sua direção, o conjunto segue sendo LI. Desta forma, provamos que qualquer conjunto de três vetores não-nulos, dois a dois ortogonais, é LI.
O resultado é válido para dois vetores também!
Resposta
Sim e demonstração.