Se a multiplicação por A gira um vetor x → do plano x y por um ângulo θ , qual é o efeito de multiplicar x → por A T ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Primeiro temos que saber que x → = ( a , b ) .

Também precisamos lembrar que R θ é uma matriz de rotação:

R θ = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora devemos encontrar R θ T

R θ T = cos ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Como somente a posição do seno é alterada podemos fazer uma correção em R θ T para que ela seja uma matriz de rotação, podemos fazer isso invertendo o valor de θ , logo:

R θ T = cos ⁡ ( - θ ) - sen ⁡ ( - θ ) sen ⁡ ( - θ ) cos ⁡ ( - θ )

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Assim vemos que A rotaciona x → em um ângulo de - θ , ou seja, inverte o sentido de rotação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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