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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 12

Nos Exercícios 3 - 12 , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todos os polinômios da forma a 0 + a 1 x com as operações

a 0 + a 1 x + b 0 + b 1 x = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x

E

k a 0 + a 1 x = k a 0 + k a 1 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial, ele deve satisfazer os 10 axiomas abaixo:

  1. Se u e v são objetos em V , então u + v é um objeto em V .
  2. u + v = v + u .
  3. u + v + w = u + v + w
  4. Existe um objeto 0 em V , denominado vetor nulo de V , ou vetor zero, tal que 0 + u = u + 0 = u .
  5. Dado qualquer u em V , existe algum objeto - u , denominado negativo de u , tal que u + - u = - u + u = 0 .
  6. Se a for qualquer escalar e u um objeto em V , então k u é um objeto em V .
  7. a u + v = a u + a v .
  8. a + b u = a u + b u .
  9. a b u = a b u .
  10. 1 u = u .

Lembrando que chamaremos de V o conjunto do enunciado com suas devidas operações. Portanto:

Considere que V seja o conjunto de todos os polinômios da forma a 0 + a 1 x com as seguintes operações definidas.

a 0 + a 1 x + b 0 + b 1 x = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x

E

k a 0 + a 1 x = k a 0 + k a 1 x

Chamaremos:

u = a 0 + a 1 x

v = b 0 + b 1 x

w = c 0 + c 1 x

Passo 2

Para o axioma 1 , temos que:

u + v = a 0 + a 1 x + b 0 + b 1 x

De acordo com a regra de operação do enunciado, temos que:

u + v = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x

Que é da forma de V satisfazendo assim o axioma 1 .

Vamos encontrar v + u :

v + u = b 0 + b 1 x + a 0 + a 1 x

v + u = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x

Portanto, podemos dizer que:

u + v = v + u

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = a 0 + a 1 x + b 0 + b 1 x + c 0 + c 1 x

u + v + w = a 0 + a 1 x + b 0 + c 0 + b 1 + c 1 x

Portanto:

u + v + w = a 0 + b 0 + c 0 + a 1 + b 1 + c 1 x

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = a 0 + a 1 x + b 0 + b 1 x + c 0 + c 1 x

u + v + w = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x + c 0 + c 1 x

Portanto:

u + v + w = a 0 + b 0 + c 0 + a 1 + b 1 + c 1 x

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja 0 = 0 + 0 x o vetor zero em V , temos que:

u + 0 = a 0 + a 1 x + 0 + 0 x

u + 0 = a 0 + 0 + a 1 + 0 x

u + 0 = a 0 + a 1 x = u

Portanto:

u + 0 = 0 + u = u

Ficando assim satisfeito o axioma 4 .

Passo 5

Seja o negativo de u :

- u = - a 0 + - a 1 x

Portanto:

u + - u = a 0 + a 1 x + - a 0 + - a 1 x

u + - u = a 0 - a 0 + a 1 - a 1 x

u + - u = 0 + 0 x = 0

Além disso, podemos dizer que:

u + - u = - u + u

Portanto, - u está em V e u + - u = - u + u = 0 . Sendo assim o axioma 5 está provado.

Seja k um escalar, temos que:

k u = k a 0 + a 1 x

k u = k a 0 + k a 1 x

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Passo 6

Já sabemos que u + v = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x , portanto:

k u + v = k a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x

k u + v = k a 0 + b 0 + k a 1 + b 1 x

k u + v = k a 0 + k b 0 + k a 1 + k b 1 x

Sabemos também que:

k u = k a 0 + k a 1 x

Analogamente, temos que:

k v = k b 0 + k b 1 x

Portanto:

k u + k v = k a 0 + k a 1 x + k b 0 + k b 1 x

k u + k v = k a 0 + k b 0 + k a 1 + k b 1 x

Ficando assim provado que:

k u + v = k u + k v

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 7

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = k + m a 0 + a 1 x

k + m u = k a 0 + k a 1 x + m a 0 + m a 1 x

Temos também que:

k u + m u = k a 0 + k a 1 x + m a 0 + m a 1 x

Ou seja:

k + m u = k u + m u

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k ( m a 0 + a 1 x )

k m u = ( k m a 0 + a 1 x )

Temos também que:

k m u = k m a 0 + a 1 x

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Passo 8

Para o axioma 10 , temos que:

1 u = 1 a 0 + a 1 x

1 u = 1 a 0 + 1 a 1 x

1 u = u

Portanto o axioma 10 é satisfeito.

Resposta

É espaço vetorial.

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