Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 2

Use o método do Exemplo 1 e a decomposição LU

Para resolver o sistema

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

Lembrando que podem ser quaisquer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Como vamos resolver? Vamos pegar os valores de e e colocar em uma matriz:

Então a nossa matriz é:

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está o 2, -4 e 7

Passo 3

O nosso pivô será o 3 da primeira linha, e temos que zerar com o 2 e o -4, então vamos pegar seus opostos (-2 e 4).

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos! Assim como na primeira linha e na primeira coluna está o 3, multiplicamos por e somamos com o valor da segunda linha e da mesma coluna, e repetimos o passo:

Repetiremos agora da primeira linha pela terceira usando

Assim

E finalmente, usaremos 4 como pivô e o oposto de -1

Assim

Assim temos a matriz U

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

Substituímos o pelo oposto do multiplicador da primeira para a segunda linha, ou seja, o .

E o mesmo raciocínio vale para e .

Passo 5

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será: