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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 15

Nos Exercícios 13-14, encontre as equações vetoriais e paramétricas da reta em R 2 que passa pela origem e é ortogonal a v .

15. v = 4,0 , - 5  

Passo 1

Para encontrar a equação vetorial, temos que recordar que a equação vetorial do plano que passa pela origem, é da forma:

x = t 1 v 1 + t 2 v 2

Porém, queremos um vetor ortogonal ao vetor v , logo, seja u = ( u 1 ,   u 2 ) o vetor genérico ortogonal a v , então temos que:

u ⋅  v = 0

u 1 ,   u 2 , u 3 ⋅ 4,0 , - 5   = 0

4 u 1 - 5 u 3 = 0

4 u 1 = 5 u 3

u 1 = 5 4 u 3

Assim temos que:

u = 5 4 u 3 , 0 ,   u 3 , para qualquer u 3 real.

Outro vetor ortogonal podemos encontrar pela seguinte observação, note que v = 4,0 , - 5 tem sua segunda componente nula, logo qualquer vetor da forma:

w = ( 0 , w 2 , 0 )

é ortogonal a v , pois:

u ⋅ w = 0

Passo 2

Fazendo u 3 = 4 , temos u = 5,0 ,   4 e fazendo w 2 = 1 , temos w = ( 0,1 , 0 ) logo uma possível equação vetorial da reta é:

x = t 1 w + t 2 u

x , y , z = t 1 0,1 , 0 + t 2 5,0 ,   4

Passo 3

Agora para encontrar as equações paramétricas basta igualar os componentes dos dois lados da equação vetorial, veja só:

x , y , z = t 1 0,1 , 0 + t 2 5,0 ,   4

x = 5 t 2

y = t 1

z = 4 t 2

Resposta

Uma resposta possível é a equação vetorial: x , y , z = t 1 0,1 , 0 + t 2 5,0 ,   4

Equações paramétricas: x = 5 t 2 , y = t 1 e z = 4 t 2

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