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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 40

Nos Exercícios 37-40, encontre a distância entre os planos paralelos.

40. 2 x - y + z = 1     e  2 x - y + z = - 1  

Passo 1

Para encontrarmos a distância D entre os planos paralelos, vamos selecionar um ponto arbitrário em um dos planos e calcular sua distância ao outro plano.

Tomando x = y = 0 na equação 2 x - y + z = 1 , temos que:

z = 1

Assim temos nosso ponto arbitrário ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Agora vamos calcular a distância entre nosso ponto ( 0,0 , 1 ) e o outro plano,   2 x - y + z = - 1   . Usando a seguinte fórmula:

D = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d   a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Temos a equação do plano 2 x - y + z = - 1   , mas primeiro vamos deixar a equação na forma:

2 x - y + z + 1 = 0  

Agora basta substituir os dados na fórmula, onde

a = 2 ; b = - 1 ; c = 1

Ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , 1 )

Logo:

D = ( 2 ) 0 + ( - 1 ) 0 + 1 ( 1 ) + ( 1 )   2 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 0 + 0 + 1 + 1   4 + 1 + 1 = 2   6 = 2 6

Resposta

D =   2 6

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