Prove que se A for uma matriz diagonalizável, então A k é diagonalizável, qualquer que seja o inteiro positivo k

Passo 1

Seja uma matriz A de dimensão n × n diagonalizável, isso quer dizer que existe uma matriz D tal que:

D = P - 1 A P

Vamos multiplicar os dois lados por D :

D ⋅ D = P - 1 A P ⋅ D

D 2 = P - 1 A P ⋅ D

Como D = P - 1 A P , então vamos aplicar isso no lado direito:

D 2 = P - 1 A P P - 1 A P

Vamos multiplicar os conteúdos dos parênteses

D 2 = P - 1 A P P - 1 A P

O produto P P - 1 é igual a matriz identidade, e por isso podemos cortá-lo:

D 2 = P - 1 A A P

Executando o produto matricial A A , obtemos então a matriz diagonal ao quadrado.

D 2 = P - 1 A 2 P

Vamos aplicar esse processo mais uma vez:

D 2 ⋅ D = ( P - 1 A 2 P ) ⋅ D

D 3 = ( P - 1 A 2 P ) ⋅ ( P - 1 A P )

D 3 = P - 1 A 2 P P - 1 A P

D 3 = P - 1 A 2 A P

D 3 = P - 1 A 3 P

Então repare que podemos repetir esse processo k vezes, até chegarmos em:

D k = P - 1 A k P

Logo, D k é a matriz diagonal referente à A k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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