Enunciado

Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.

24.

A = k + 1 k - 1 7 2 k - 3 4 5 k + 1 k

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 3 x 3 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Ao longo de qual linha ou coluna vamos fazer a expansão de cofatores?

Observe que ao escolher a segunda coluna facilitaremos os cálculos dos Cofatores, pois estaremos eliminando a coluna com mais variáveis.

Logo:

det ⁡ A = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32

Passo 2

Agora vamos calcular cada cofator associado a segunda coluna:

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 2 4 5 k = - 2 × k - 4 × 5 = - 2 k - 20 = - 2 k + 20

C 22 = - 1 2 + 2   M 22 = 1 × k + 1 7 5 k = k + 1 × k - 7 × 5 = k 2 + k - 35

C 32 = - 1 3 + 2   M 32 = - 1 × k + 1 7 2 4 = - k + 1 × 4 - 7 × 2 = - 4 k + 4 - 14 = - 4 k + 10

det ⁡ A = a 12 ( - 2 k + 20 ) + a 22 ( k 2 + k - 35 ) + a 32 ( - 4 k + 10 )

det ⁡ A = k - 1 × - 2 k + 20 + k - 3 × ( k 2 + k - 35 ) + ( k + 1 ) × ( - 4 k + 10 )

det ⁡ A = - 2 k 2 + 20 k + 2 k - 20 + k 3 + k 2 - 35 k - 3 k 2 - 3 k + 105 + ( - 4 k 2 + 10 k - 4 k + 10 )

det ⁡ A = - 2 k 2 + 22 k - 20 + k 3 - 2 k 2 - 38 k + 105 + ( - 4 k 2 + 6 k + 10 )

det ⁡ A = k 3 - 8 k 2 - 10 k + 95

Resposta

det ⁡ A = k 3 - 8 k 2 - 10 k + 95

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