Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 24
Nos exercícios de 23-26, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre
- Uma base da imagem de T
- Uma base do núcleo de T
- O posto e a nulidade de T
- O posto e a nulidade de A
Passo 1
Item A)
Temos a matriz A:
Vamos coloca-la na forma triangular superior:
A primeira e a segunda linha são múltiplos escalares entre si, então podemos eliminar a segunda. Além disso, vamos dividir a terceira linha por 20:
Vamos pegar a terceira linha, multiplicar por dois e subtrair na primeira:
E trocamos a primeira e a terceira linha de lugar:
As primeira e a terceira coluna são idependentes entre si, então elas formam a base do espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A é igual a base da imagem de T
Passo 2
Item B)
Agora vamos resolver o sistema:
Resolvendo:
Se chamarmos de :
Isso forma a base do espaço nulo de A, que é o núcleo de T:
Passo 3
O Posto de T é igual a dimensionalidade da base da imagem de T
A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo de T:
Passo 4
O espaço coluna de A é bidimensional, então o posto é:
O espaço nulo de A é unidimensional, então a nulidade de A é?
Resposta
- e
- e