Prove: se v 1 → , … ,   v n → for uma base V e w 1 → ,   … , w n → vetores em W , não necessariamente distintos, então existe alguma transformação linear T : V → W tal que:

T v 1 → = w 1 → , … ,   T v n → = w n →

Passo 1

Já que { v 1 → , v 2 → … ,   v n → } é a base de V , então vamos gerar um novo vetor qualquer v → . Esse vetor qualquer é do seguinte formato:

v → = a 1 ⋅ v 1 → + a 2 ⋅ v 2 → + … + a n v n →

onde a 1 , a 2 , … ,   a n de são valores quaisquer.

Então, vamos aplicar a transformação linear neste vetor:

T v → = T a 1 ⋅ v 1 → + a 2 ⋅ v 2 → + … + a n v n → T v → = T a 1 ⋅ v 1 → ) + T ( a 2 ⋅ v 2 → ) + … + T ( a n v n → T v → = a 1 T ( v 1 → ) + a 2 T ( v 2 → ) + … + a n T ( v n → )  

Como a questão diz que: T v 1 → = w 1 → , … , T v n → = w n → , vamos aplicar isso:

T v → = a 1 ⋅ w 1 → + a 2 ⋅ w 2 → + … + a n ⋅ w n →

Da mesma forma que a 1 ⋅ v 1 → + … + a n v n → é uma combinação linear que resulta em um vetor v → que pertence a V ; então a expressão a 1 ⋅ w 1 → + … + a n ⋅ w n → é uma combinação linear que resulta w → que pertence a W .

Então podemos dizer que:

T v → = w →

Isso demonstra que existe a transformação linear T : V → W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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