Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 34
Sea a multiplicação por:
- Mostre que o núcleo de é uma reta pela origem e encontre equações paramétricas dessa reta
- Mostre que a imagem de é um plano pela origem e encontre uma equação desse plano.
Passo 1
Item A)
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que transforma em zero:
Vamos aplicar eliminação gaussiana. Vamos pegar a primeirla linha e subtraí-la três vezes na segunda linha; e pegar a primeira linha e somar duas vezes na terceira linha:
A segunda linha e a terceira são ultipos escalares entre si. Vamos eliminar a terceira linha e dividir a segunda por :
Vamos pegar a segunda linha e subtrair três vezes na primeira linha:
Logo:
Se chamarmos em que é qualque número que pertença aos reais
Então, a base do núcleo de é:
Vamos considerar o caso em que
Isso demonstra que o núcleo de passa pela origem.
Passo 2
O conjunto imagem de são todos os vetores que podem ser formados pela transformação linear .
Então, vamos considerar a matriz reduzida:
Todos os vetores que podem ser formados pela transformação serão cobinações lineares das linhas desta matriz. Então podemos dizer que as linhas dessa matriz formam a base do conjunto imagem de :
Com esses dois vetores podemos definir um plano que passa pela origem pelo Teorema 3.4.2:
Resposta
- Isso demonstra que o núcleo de passa pela origem.