Sejam J : P 1 → R a transformação de integração J p → = ∫ - 1 1 p x d x . Descreva o núcleo de J.

Passo 1

A transformação linear proposta pela questão é a integral de um polinômio que resulta em uma constante que pertence aos reais.

Mas nós estamos interessados no núcleo, ou seja, o que nos interessa é o conjunto de vetores que fazem com que o resultado da transformação seja igual a zero.

Então vamos pegar um polinômio qualquer:

p x = a n x n + … + a 0

Vamos calcular a transformação linear:

J p → = ∫ - 1 1 p x d x

Da teoria do Cálculo Integral, podemos lembrar que

p x   é   f u n ç ã o   í m p a r ∫ - 1 1 p x d x = 0 p x   é   f u n ç ã o   p a r ∫ - 1 1 p x d x = 2 ∫ 0 1 p x d x

Passo 2

Por um momento, vamos olhar especificamente para o caso de p ( x ) ser uma função par:

J p → = 2 ∫ 0 1 p x d x

Esta integral será zero apenas na situação em que p x = 0 . Então, o espaço vetorial { 0 } é parte do núcleo de J

0 ∈ N u c ( J )

Resposta

O núcleo de J contém { 0 }

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