Nos exercícios 27-28, encontre uma matriz diagonal A que satisfaz a condição dada.

27. A 5 = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

Passo 1

Como vimos no exemplo 1 dessa seção, quando queremos calcular potências de matrizes diagonais, essa potência pode ser aplicada diretamente nos termos da diagonal principal.

Vamos supor uma matriz diagonal qualquer:

A = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3

Aplicando a potência a essa matriz:

A 5 = d 1 5 0 0 0 d 2 5 0 0 0 d 3 5

Agora podemos igualar essa matriz com a que é dada pelo enunciado:

d 1 5 0 0 0 d 2 5 0 0 0 d 3 5 = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

Agora é só resolver essas 3 pequenas equações que surgiram:

d 1 5 = 1

d 1 = 1

d 2 5 = - 1

d 2 = - 1

d 3 5 = - 1

d 3 = - 1

Portanto a matriz A é igual a:

A = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

Que, nesse caso é igual a A 5 .

Resposta

A = 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

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