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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 4

Nos Exercícios 3-4, aplique o método das potências com mudança de escala euclidiana à matriz A , começando com x 0 e parando em x 4 . Compare a aproximação resultante com o valor exto do autovalor dominante e o autovetor unitário correspondente.

A = 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 ; x 0 = 1 0 0

Passo 1

Temos que encontrar os autovalores de A .

det ⁡ A - λ I = 0

  7 - λ - 2 0 - 2 6 - λ - 2 0 - 2 5 - λ = 0

- λ 3 + 18 λ 2 - 99 λ + 162 = 0

Resolvendo a equação temos que

λ 1 = 3

λ 2 = 6

λ 3 = 9

Lembrando que λ 3 = 9 é o autovalor dominante

Passo 2

Agora, descobrindo o auto espaços, com o autovalor dominante:

7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 x y z = 9 x 9 y 9 z

Entramos em um sistema de equações

7 x - 2 y = 9 x - 2 x + 6 y - 2 z = 9 z - 2 y + 5 z = 9 z     → x = - y y = 0 z = - y 2    

Assim descobrimos o autovetor

- y 0 - y 2 ∼ - y 1 0 1 2

Passo 3

Normalizando

1 2 + 0 2 + 1 2 2 = 1,25

Logo

1 1,25 1 0 0,5 ≈ 0,894 0 0,447

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método das potências

A x 0 = 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 1 0 0,5 = - 7 - 3 - 2,5   x 1 = A x 0 A x 0 = 1 - 7 2 + - 3 2 + - 2,5 2

= 1 58 . 1 0 0,5 ≈ 1,131 0 0,066

A x 1 ≈ 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 1,131 0 0,066 = - 0,919 - 0,394 0,328                 x 1 = A x 0 A x 0 = 1 1 . 1 0 0,5 ≈ 1 0 0,5

A x 2 ≈ 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 1 0 0,5 = - 7 - 3 - 2,5         x 2 = A x 0 A x 0 = 1 58 . 1 0 0,5 ≈ 1,131 0 0,066

A x 3 ≈ 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 1,131 0 0,066 = - 0,919 - 0,394 0,328                 x 3 = A x 0 A x 0 = 1 1 . 1 0 0,5 ≈ 1 0 0,5

A x 4 ≈ 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 1 0 0,5 = - 7 - 3 - 2,5                       x 4 = A x 0 A x 0 = 1 58 . 1 0 0,5 ≈ 1,131 0 0,066

A x 5 ≈ 7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5 1,131 0 0,066 = - 0,919 - 0,394 0,328

Passo 5

Continuando:

λ 1 = A x 1 . x 1   = A x 1 T . x 1 = - 0,919 - 0,394 0,328 . 1 0 0,5 = - 0,755  

λ 2 = A x 2 . x 2   = A x 2 T . x 2 = 7 3 2,5 .   1,131 0 0,066 = 8,082

λ 3 = A x 3 . x 3   = A x 3 T . x 3 = [ - 0,919 - 0,394 0,328 ] . . 1 0 0,5 = - 0,755

λ 4 = A x 4 . x 4   = A x 4 T . x 4 = [ 7 3 2,5 ] . 1,131 0 0,066 = 8,082

λ 5 = A x 5 . x 5   = A x 5 T . x 5 = [ - 0,919 - 0,394 0,328 ] . . 1 0 0,5 = 0,755

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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