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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 7

Sejam

A = 2 - 1 - 1 2 :           x 0 = 1 0

(a) Use o método das potências com mudança de escala de entrada máxima para aproximar um autovetor dominante de A . Comece com x 0 , arredonde todos os cálculos em três casas decimais e pare depois de três iterações.

(b) Use o resultado da parte (a) e o quociente de Rayleigh para aproximar o autovalor dominante de A .

(c) Encontre o valor exato do autovalor e autovetor aproximados nas partes (a) e (b).

(d) Encontre o erro percentual na aproximação do autovalor dominante.

Passo 1

  1. Vamos aplicar o método das potências, lembrando que o m a x é o maior valor da matriz resultante das multiplicações

A x 0 = 2 - 1 - 1 2 1 0 = 2 - 1                                                                                                   x 1 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2 . 2 - 1 ≈ 1 - 0,5

A x 1 ≈ 2 - 1 - 1 2 1 - 0,5 = 2,5 - 2                                                                               x 2 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2,5 . 2,5 - 2 ≈ 1 - 0,8

A x 2 ≈ 2 - 1 - 1 2 1 - 0,8 = 2,8 0,4  

Passo 2

O (b) será usar a fórmula:

λ 1 = A x 1 . x 1 x 1 . x 1   = A x 1 T . x 1 x 1 T . x 1 = 3,5 1,25 = 2,8

λ 2 = A x 2 . x 2 x 2 . x 2   = A x 2 T . x 2 x 2 T . x 2 = 2,48 1,64 = 1,51

Passo 3

Em (c) usaremos a fórmula para encontrar o autovalor

d e t ⁡ ( A - λ I )

Logo:

2 - λ - 1 - 1 2 - λ

λ 2 - 4 λ + 3 = 0

λ 1 = 1

λ 2 = 3

O que acaba se aproximando dos autovalores encontrados.

Passo 4

Para fazer o erro percentual faremos

λ 2 = λ 2 - λ 1 λ 2 = 2,8 - 1,51 2,8 = 0,46  

E multiplicando por 100

0,46 = 46 %

O que é considerado uma taxa alta de erro, portanto teria que descobrir mais λ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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