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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 37

Nos Exercícios 37-40, encontre a distância entre os planos paralelos.

37. 2 x - y - z = 5     e  - 4 x + 2 y + 2 z = 12

Passo 1

Para encontrarmos a distância D entre os planos paralelos, vamos selecionar um ponto arbitrário em um dos planos e calcular sua distância ao outro plano.

Tomando x = y = 0 na equação 2 x - y - z = 5 , temos que:

- z = 5 , logo z = - 5

Assim temos nosso ponto arbitrário ( 0,0 , - 5 )

Passo 2

Agora vamos calcular a distância entre nosso ponto ( 0,0 , - 5 ) e o outro plano,   - 4 x + 2 y + 2 z = 12 . Usando a seguinte fórmula:

D = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d   a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Temos a equação do plano - 4 x + 2 y + 2 z = 12 , mas primeiro vamos deixar a equação na forma:

- 4 x + 2 y + 2 z - 12 = 0

Agora basta substituir os dados na fórmula, onde

a = - 4 ; b = 2 ; c = 2

Ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , - 5 )

Logo:

D = ( - 4 ) 0 + ( 2 ) 0 + 2 ( - 5 ) + ( - 12 )   ( - 4 ) 2 + 2 2 + 2 2 = 0 + 0 - 10 - 12   16 + 4 + 4 = - 22   24 = 22 24

Simplificando:

D = 22 24 = 22 2 2 ⋅ 6 = 22 2 6 = 11 6

Resposta

D = 11 6

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Determine se o conjunto de vetores dado é ortogonal. Se for, normalize cada vetor para formar um conjunto ortonormal. u = - 32 ,- 1 ,19 ,v = 3 ,- 1 ,5 ,w = ( 1 ,6 ,2 )
Sejam u = ( 3 , - 5 , 1 ) , v = ( - 2 , 0 , 2 ) e w = ( 0 , - 1 , 4 ) .Calculeu * ( v xx w ) .
Sejam u = ( - 2 , 0 , 4 ) , v = ( 3 , - 1 , 6 ) e w = ( 2 , - 5 , - 5 ) .Calculeu * ( v xx w ) .
Sejam u = ( 3 , - 5 , 1 ) , v = ( - 2 , 0 , 2 ) e w = ( 0 , - 1 , 4 ) .Calcule3 v - 2 u .
Verdadeiro ou falso: se u é ortogonal a v+w , então u é ortogonal a v e w .