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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 6

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

a = t i + cos ⁡ t   j + s e n   t   k             b = i - s e n   t   j + cos ⁡ t   k

Passo 1

A gente pode calcular pelo determinante da matriz:

i j k t cos ⁡ t s e n   t 1 - s e n   t cos ⁡ t = i cos ⁡ t s e n   t - s e n   t cos ⁡ t   - j t s e n   t 1 cos ⁡ t + k t cos ⁡ t 1 - s e n   t

( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t ) i - t cos ⁡ t - s e n   t j + ( - t s e n   t - cos ⁡ t ) k

1 i + - t c o s   t + s e n t j + - t   s e n   t - cos ⁡ t k

a × b = ( 1 , - t c o s   t + s e n   t ,   - t   s e n t - cos ⁡ t )

Encontramos o produto vetorial então. Vamos ver se ele é ortogonal a a e b...

Passo 2

É só fazer o teste de dois a dois...

( 1 , - t c o s   t + s e n   t ,   - t   s e n t - cos ⁡ t ) ∙ ( t , cos ⁡ t ,   s e n   t ) =

t - t c o s 2 t + s e n   t cos ⁡ t - t s e n 2 t - cos ⁡ t   s e n   t =

t 1 - cos 2 ⁡ t - s e n 2 t = t 1 - 1 = t 0 = 0

Então o vetor encontrado é ortogonal a a .

Vamos fazer a mesma coisa com b ...

( 1 , - t c o s   t + s e n   t ,   - t   s e n t - cos ⁡ t ) ∙ ( 1 , - s e n   t , cos ⁡ t ) =

1 + t c o s   t   s e n   t - s e n 2 t - t   s e n   t cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t =

1 - s e n 2 t - cos 2 ⁡ t = 1 - 1 = 0

Também é ortogonal a b !!

Nosso vetor tá certinho então😊

Resposta

( 1 , - t c o s   t + s e n   t ,   - t   s e n t - cos ⁡ t )

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