Enunciado

Nos exercícios 9-12, encontre por inspeção A2, A-2 e A-k (sendo k um inteiro qualquer).

12. - 2 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 2

Passo 1

Como vimos no exemplo 1 dessa seção, quando queremos calcular potências de matrizes diagonais, essa potência pode ser aplicada diretamente nos termos da diagonal principal.

Aplicando isso na nossa matriz:

A 2 = - 2 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 2 2

A 2 = - 2 2 0 0 0 0 - 4 2 0 0 0 0 - 3 2 0 0 0 0 2 2

A 2 = 4 0 0 0 0 16 0 0 0 0 9 0 0 0 0 4

Prontinho, agora é só fazer a mesma coisa com as outras potências:

A - 2 = - 2 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 2 - 2

A - 2 = - 2 - 2 0 0 0 0 - 4 - 2 0 0 0 0 - 3 - 2 0 0 0 0 2 - 2

A - 2 = 1 4 0 0 0 0 1 16 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 1 4

E por fim:

A k = - 2 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 2 k

A k = - 2 k 0 0 0 0 - 4 k 0 0 0 0 - 3 k 0 0 0 0 2 k

Resposta

A 2 = 4 0 0 0 0 16 0 0 0 0 9 0 0 0 0 4

A - 2 = 1 4 0 0 0 0 1 16 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 1 4

A k = - 2 k 0 0 0 0 - 4 k 0 0 0 0 - 3 k 0 0 0 0 2 k

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Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz A = 3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2
Uma matriz quadrada A arbitrária.
Mostre que se p (x) = x^2 - (a + d) x + ( a d - b c ) eA = [[[a,b],[c,d]]] Então p (A) = 0 .
Considere a matriz A = a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮⋮ 0 0 ⋯ a n n Em que a 11 a 22 ⋯ a n n ≠ 0 . Mostre que A é invertível e encontre sua inversa.
A matriz A do Exercício 21.