Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 8

Expresse os seguintes como combinações lineares de u = ( 2 ,   1 ,   4 ) , v = ( 1 ,   - 1 ,   3 ) e w = ( 3 ,   2 ,   5 ) ?

  1. ( - 9 ,   - 7 ,   - 15 )
  2. ( 6 ,   11 ,   6 )
  3. 0 ,   0 ,   0
  4. ( 7 ,   8 ,   9 )

Passo 1

Show de bola então pessoal, pra começar, sabemos que para um vetor x → ser combinação linear de outros três vetores u → , v → e w → , então

x → = a u → + b v → + c w →

Então precisamos encontrar a ,   b   e   c pra podermos expressar o vetor. Então bora fazer isso pra cada vetor.

Passo 2

Na letra (a), temos o vetor ( - 9 ,   - 7 ,   - 15 ) , logo

- 9 ,   - 7 ,   - 15 = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒

Na forma matricial

2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 - 9 - 7 - 15 ⇒   L 1 ⇔ L 2 L 2 ⇔ L 1   = 1 - 1 2 2 1 3 4 3 5 - 7 - 9 - 15 ⇒

⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   L 3 = L 3 - 4 L 1 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 7 - 3 - 7 5 13 ⇒         L 3 = L 3 - 3 L 2 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 - 2 0 - 7 5 - 2 ⇒

⇒         L 3 = - 1 2 L 3 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 1 0 - 7 5 1 ⇒     L 2 = L 2 - 3 L 3       = 1 - 1 2 0 0 - 1 0 1 0 - 7 2 1 ⇒

⇒     L 2 ⇔ L 3     L 3 ⇔ L 2   = 1 - 1 2 0 1 0 0 0 - 1 - 7 1 2

Logo b = 1 e c = - 2 , então da primeira linha tiramos

a - b + 2 c = - 7 ⇒ a - 1 + 2 - 2 = - 7 ⇒ a = - 7 + 1 + 4 = - 2

Portanto

- 9 ,   - 7 ,   - 15 = - 2 2 ,   1 ,   4 + 1 ,   - 1 ,   3 - 2 ( 3 ,   2 ,   5 )

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor ( 6 ,   11 ,   6 ) , logo

( 6 ,   11 ,   6 ) = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒

Na forma matricial

2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 6 11 6 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1 L 3 = L 3 - 2 L 1   = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 1 - 1 6 8 - 6 ⇒

⇒         L 3 = L 3 + 2 3 L 2 = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 0 - 2 3 6 8 - 2 3

Logo c = 1 , então da segunda linha tiramos

- 3 2 b + 1 2 c = 8 ⇒ - 3 2 b + 1 2 1 = 8 ⇒ b = - 2 3 8 - 1 2 = - 5

E da primeira linha obtemos

2 a + b + 3 c = 6 ⇒ 2 a - 5 + 3 1 = 6 ⇒ a = 4

Portanto

6 ,   11 ,   6 = 4 2 ,   1 ,   4 - 5 1 ,   - 1 ,   3 + ( 3 ,   2 ,   5 )

Passo 4

Na letra (c), o vetor é 0 ,   0 ,   0 , logo

0 ,   0 ,   0 = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = 0 a - b + 2 c = 0 4 a + 3 b + 5 c = 0 ⇒

Na forma matricial

2 a + b + 3 c = 0 a - b + 2 c = 0 4 a + 3 b + 5 c = 0 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 0 0 0 ⇒   L 1 ⇔ L 2 L 2 ⇔ L 1   = 1 - 1 2 2 1 3 4 3 5 0 0 0 ⇒

⇒     L 2 = L 2 - 2 L 1   L 3 = L 3 - 4 L 1 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 7 - 3 0 0 0 ⇒         L 3 = L 3 - 3 L 2 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 - 2 0 0 0 0 ⇒

⇒         L 3 = - 1 2 L 3 = 1 - 1 2 0 3 - 1 0 1 0 0 0 0 ⇒     L 2 = L 2 - 3 L 3       = 1 - 1 2 0 0 - 1 0 1 0 0 0 0 ⇒

⇒     L 2 ⇔ L 3     L 3 ⇔ L 2   = 1 - 1 2 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0

Logo b = 0 e c = 0 , então da primeira linha tiramos

a - b + 2 c = 6 ⇒ a - 0 + 2 0 = 0 ⇒ a = 0 + 0 + 0 = 0

Portanto

0 ,   0 ,   0 = 0 2 ,   1 ,   4 + 0 1 ,   - 1 ,   3 + 0 ( 3 ,   2 ,   5 )

Passo 5

E por último para o vetor ( 7 ,   8 ,   9 )

( 7 ,   8 ,   9 ) = a 2 ,   1 ,   4 + b 1 ,   - 1 ,   3 + c ( 3 ,   2 ,   5 ) ⇒ 2 a + b + 3 c = 7 a - b + 2 c = 8 4 a + 3 b + 5 c = 9 ⇒

Na forma matricial

⇒ 2 a + b + 3 c = - 9 a - b + 2 c = - 7 4 a + 3 b + 5 c = - 15 ⇒ 2 1 3 1 - 1 2 4 3 5 7 8 9 ⇒   L 2 = L 2 - 1 2 L 1 L 3 = L 3 - 2 L 1   = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 1 - 1 7 9 2 - 5 ⇒

⇒         L 3 = L 3 + 2 3 L 2 = 2 1 3 0 - 3 2 1 2 0 0 - 2 3 7 9 2 - 2

Logo c = 3 , então da segunda linha tiramos

- 3 2 b + 1 2 c = 9 2 ⇒ - 3 b + 3 = 9 ⇒ b = - 2

E da primeira linha obtemos

2 a + b + 3 c = 7 ⇒ 2 a - 2 + 3 3 = 7 ⇒ a = 0

Portanto

7 ,   8 ,   9 = 0 2 ,   1 ,   4 - 2 1 ,   - 1 ,   3 + 3 ( 3 ,   2 ,   5 )

Resposta

  1. - 9 ,   - 7 ,   - 15 = - 2 2 ,   1 ,   4 + 1 ,   - 1 ,   3 - 2 ( 3 ,   2 ,   5 ) .
  2. 6 ,   11 ,   6 = 4 2 ,   1 ,   4 - 5 1 ,   - 1 ,   3 + ( 3 ,   2 ,   5 ) .
  3. 0 ,   0 ,   0 = 0 2 ,   1 ,   4 + 0 1 ,   - 1 ,   3 + 0 ( 3 ,   2 ,   5 ) .
  4. 7 ,   8 ,   9 = 0 2 ,   1 ,   4 - 2 1 ,   - 1 ,   3 + 3 ( 3 ,   2 ,   5 ) .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam v 1 = 2 ,1 ,0 ,3 ,v 2 = 3 ,- 1 ,5 ,2ev 3 = ( - 1 ,0 ,2 ,1 ) . Em cada parte decida se o vetor está em g e r { v 1 ,v 2 ,v 3 } . ( 2 ,3 ,- 7 ,3 ) . ( 0 ,0 ,0 ,0 ) ( 1 ,1 ,1 ,1 ) ( - 4 ,6 ,- 13 ,4
Use o teorema 4.2 . 5 para mostrar que os vetores v 1 = 1,6 , 4 ,v 2 = 2,4 , - 1 ,v 3 = - 1,2 , 5 ,w 1 = 1 , - 2 , - 5ew 2 = 0,8 , 9 geram o mesmo subespaço de R 3 .
Mostre que os vetores solução de um sistema não homogêneo e consistente de m equações lineares em n incógnitas não formam um subespaço de R n .
Mostre que o conjunto das funções F = f x contínuas em a , b tais que ∫ a b f x d x = 0 É um subespaço de C a , b .
Prove o teorema 4.2 . 5 .