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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 7

Quais dos seguintes são combinações lineares de u = ( 0 ,   - 2 ,   2 ) e v = ( 1 ,   3 ,   - 1 ) ?

  1. ( 2 ,   2 ,   2 )
  2. ( 3 ,   1 ,   5 )
  3. 0 ,   4 ,   5
  4. ( 0 ,   0 ,   0 )

Passo 1

Show de bola então pessoal, pra começar, sabemos que para um vetor x → ser combinação linear de outros dois vetores u → e v → , então deve existir dois escalares reais a e b , tal que

x → = a u → + b v →

Se for possível encontrar esses valores, então nosso vetor é combinação linear dos outros dois. Então bora tentar com cada um dos vetores, partiu!!!

Passo 2

Na letra (a), temos o vetor ( 2 ,   2 ,   2 ) , logo

2 ,   2 ,   2 = a 0 ,   - 2 ,   2 + b 1 ,   3 ,   - 1 ⇒ 0 a + b = 2 - 2 a + 3 b = 2 2 a - b = 2 ⇒ b = 2 - 2 a + 3 ( 2 ) = 2 2 a - ( 2 ) = 2 ⇒ b = 2 - 2 a = 2 - 6 2 a = 2 + 2

Logo, a = 2 e b = 2 satisfazem a relação e portanto o vetor ( 2 ,   2 ,   2 ) é combinação linear de u e v .

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor ( 3 ,   1 ,   5 ) , logo

3 ,   1 ,   5 = a 0 ,   - 2 ,   2 + b 1 ,   3 ,   - 1 ⇒ 0 a + b = 3 - 2 a + 3 b = 1 2 a - b = 5 ⇒ b = 3 - 2 a + 3 ( 3 ) = 1 2 a - ( 3 ) = 5 ⇒ b = 3 - 2 a = 1 - 9 2 a = 5 + 3

Logo, a = 4 e b = 3 satisfazem a relação e portanto o vetor ( 3 ,   1 ,   5 ) é combinação linear de u e v .

Passo 4

Na letra (c), o vetor é 0 ,   4 ,   5 , logo

0 ,   4 ,   5 = a 0 ,   - 2 ,   2 + b 1 ,   3 ,   - 1 ⇒ 0 a + b = 0 - 2 a + 3 b = 4 2 a - b = 5 ⇒ b = 0 - 2 a + 3 ( 0 ) = 4 2 a - ( 0 ) = 5 ⇒ b = 0 - 2 a = 4 2 a = 5

Logo, da segunda linha tiramos que a = - 2 , agora na terceira linha tiramos que a = 5 2 , ou seja obtemos valores diferentes para equações diferentes, logo nosso vetor 0 ,   4 ,   5 não é combinação linear de u e v .

Passo 5

E por último para o vetor ( 0 ,   0 ,   0 ) não precisamos nem fazer as contas já que o vetor ( 0 ,   0 ,   0 ) é múltiplo de qualquer outro vetor, basta multiplicar por 0

0 ,   0 ,   0 = 0 0 ,   - 2 ,   2 + 0 ( 1 ,   3 ,   - 1 )

Resposta

  1. É combinação.
  2. É combinação.
  3. Não é combinação.
  4. É combinação.
Ver Outros Exercícios desse livro

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Sejam V 1 , … , V k + 1 vetores de um espaço vetorial V, tais que { V 1 , … , V k } é linearmente independente. Mostre que se V k + 1 não pertence ao subespaço gerado por { V 1 , … , V k } , então V 1
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? c. 6 , 4 , - 2 , 4 , 2 , 0 , 0 , 1 , 3 , 2 , - 1 , 2 , 5,6 , - 3,2 , ( 0,4 , - 2 , - 1 ) ;
f. ( x , y , z ) , tais que x = - z ;
1.2.2 Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R 4 ?a. ( x , y , z , w ) , tais que x - y = 2 ;
a . A = 1 1 2 - 1 2 3 6 - 2 - 2 1 2 2