Mostre que o conjunto das funções contínuas em tais que
É um subespaço de .
Passo 1
Desejamos mostrar que o conjunto de funções dado é um subespaço de , dessa forma devemos nos lembrar do teorema do livro que nos diz que um conjunto é subespaço de um espaço se atende as seguintes condições:
Se são vetores de , então está em .
Se é um escalar e um vetor em , então está em .
Passo 2
Sendo assim, tomemos como sendo o conjunto dado no enunciado e vamos considerar o seguinte
Com isso conseguimos testar as nossas duas condições fazendo
Como então
Consequentemente estão em . Resta-nos, então, testar a segunda condição fazendo
Como essa condição também é satisfeita, temos que o conjunto dado é um subespaço.