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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 01

Usando uma translação, procure transformar g x , y de modo que os coeficientes dos novos termos lineares sejam nulos.

  1. g x , y = 12 x 2 + 8 x y - 3 y 2 + 64 x + 30 y .
  2. g x , y = 2 x 2 - 4 x y - y 2 - 4 x - 8 y + 14 .
  3. g x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2 - 4 x - 30 y + 175 .
  4. g x , y = 7 x 2 + 28 x y + 28 y 2 - 2 x - 4 y - 1 .

Passo 1

Seja a cônica g x , y = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f .

Como visto na teoria, escrever a matriz M 3 :

M 3 = a b / 2 d / 2 b / 2 c e / 2 d / 2 e / 2 f .

Nosso objetivo é eliminar os termos lineares. Para tal, passamos para um novo sistema de eixos u ,   v que se relaciona com x , y da seguinte maneira:

x = u + h y = v + k

nosso objetivo é encontrar h e k . Podemos fazer isso da seguinte maneira:

  • Escreve-se M 3 . Utilizando as duas primeiras linhas, montamos o sistema linear:

    • a h + b 2 k + d 2 = 0 b 2 h + c k + e 2 = 0

  • A terceira linha de M 3 será o novo termo independente da cônica;
  • Os termos quadráticos não se alteram.

Assim, a nova equação da cônica será:

g ' u , v = a u 2 + b u v + c v 2 + d 2 h + e 2 k + f

Observação: note que o sistema pode ou não admitir solução. Somente quando o for o caso de haver solução que poderemos escrever g ' u , v .

Passo 2

  1. Para a cônica dada, temos a = 12 ,   b = 8 ,   c = - 3 ,   d = 64 ,   e = 30 ,   f = 0 .

    2. Montamos a matriz:

    M 3 = 12 4 32 4 - 3 15 32 15 0

    Montando o sistema linear:

    12 h + 4 k + 32 = 0 4 h - 3 k + 15 = 0 ⟹ 3 h + k = - 8 4 h - 3 k = - 15 ∴ h = - 3 k = 1

    Assim, temos que

    g ' u , v = 12 u 2 + 8 u v - 3 v 2 + 32 ⋅ - 3 + 15 ⋅ 1 + 0

    g ' u , v = 12 u 2 + 8 u v - 3 v 2 - 81

    Passo 3

  2. Para a cônica dada, a = 2 ,   b = - 4 ,   c = - 1 ,   d = - 4 ,   e = - 8 ,   f = 14 .

    3. Montamos a matriz:

    M 3 = 2 - 2 - 2 - 2 - 1 - 4 - 2 - 4 14

    Montando o sistema linear:

    2 h - 2 k - 2 = 0 - 2 h - k - 4 = 0 ∴ h - k = 1 2 h + k = - 4 ∴ h = - 1 k = - 2

    Assim, temos que

    g ' u , v = 2 u 2 - 4 u v - v 2 + - 2 ⋅ - 1 + - 2 - 4 + 14

    g ' u , v = 2 u 2 - 4 u v - v 2 + 24

    Passo 4

  3. Para a cônica dada, temos a = 4 ,   b = - 4 ,   c = 1 ,   d = - 4 ,   e = - 30 ,   f = 175 .

    4. Montamos a matriz:

    M 3 = 4 - 2 - 2 - 2 1 - 15 - 2 - 15 175

    Montando o sistema linear:

    4 h - 2 k - 2 = 0 - 2 h + k - 15 = 0 ⟹ - 2 h + k = - 1 - 2 h + k = 15

    Veja que as equações são incompatíveis. Portanto, o sistema linear é impossível de ser resolvido! Portanto, não há nenhuma transformação possível que possa eliminar os termos lineares.

    Passo 5

  4. Para a cônica dada, temos a = 7 ,   b = 28 ,   c = 28 ,   d = - 2 ,   e = - 4 ,   f = - 1 .

Montamos a matriz:

M 3 = 7 14 - 1 14 28 - 2 - 1 - 2 - 1

Montando o sistema linear:

7 h + 14 k - 1 = 0 14 h + 28 k - 2 = 0 ∴ 7 h + 14 k = 1 7 h + 14 k = 1

Note que o sistema linear é possível e indeterminado! Portanto, qualquer solução serve! Podemos pegar, por exemplo, k = 0 e h = 1 / 7 . A nova equação da cônica, será:

g ' u , v = 7 u 2 + 28 u v + 28 v 2 + - 1 ⋅ 1 7 - 2 ⋅ 0 - 1

g ' u , v = 7 u 2 + 28 u v + 28 v 2 - 8 7

Resposta

  1. g ' u , v = 12 u 2 + 8 u v - 3 v 2 - 81 .
  2. g ' u , v = 2 u 2 - 4 u v - v 2 + 24 .
  3. Não é possível.
  4. g ' u , v = 7 u 2 + 28 u v + 28 v 2 - 8 / 7 .
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