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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 49a

No paralelogramo ACBD, os lados AB e AD medem, respectivamente, 3 e 9, e o ângulo interno de vértice A mede 60°. Sejam M o ponto DC e N o ponto AD tais que D M → = 3 M C → e 3 A N → = 2 A D → . Calcule:

(a) a medida do ângulo M A ^ B ;

Passo 1

Bora lá!

Pelas relações dadas no enunciado, sabemos que:

D M → = 3 M C →

D M → + M C → = 3

M C → = 3 4

D M → = 9 4

3 A N → = 2 A D →

A N → + A D → = 9

A N → = 6

A D → = 3

Passo 2

Sabendo que o ângulo do vértice A mede 60° e o ângulo de D mede 120° (por ser o complementar). Podemos calcular o valor do módulo do vetor A M → da seguinte forma:

D M → - D A → 2 = A M → 2 = D M → 2 - 2 D M → D A → c o s 120 + D A → 2

A M → 2 = 9 4 2 - 2 9 4 9 - 1 2 + 9 2

A M → 2 = 9 21 4

Passo 3

E assim podemos calcular o ângulo D A ^ M pelo seguinte produto escalar, que após ser calculado, basta subtraí-lo de 60° para encontrar M A ^ B .

A D → - A M → 2 = D M → 2 = A D → 2 - 2 A D → A M → cos ⁡ D A ^ M + A M → 2

8 16 = 81 - 2 × 9 × 9 21 4 × cos ⁡ D A ^ M + 81 × 21 16

cos ⁡ D A ^ M = 9 2 21

D A ^ M = arccos ⁡ 9 2 21

Resposta

Logo, o ângulo desejado é:

M A ^ B = 60 ° - arccos ⁡ 9 2 21

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