(a) Prove que , quaisquer que sejam , e .

(b) Dados os vetores não-nulos , e , sejam , e . Prove que .

(c) Supondo, no item anterior, que , verifique se é base.

Agora vamos olhar para o outro lado da igualdade:

Usando as mesmas fórmulas de antes:

E aqueles produtos internos são:

Beleza, aqui já dá pra perceber que esse termo da direita está idêntico ao termo da esquerda.

O termo da esquerda é:

E o da direita é, pelo que vimos agora, é exatamente igual. Ou seja, está demonstrada a igualdade do item (a).

(b) Já que só estamos pensando nos ângulos entre os vetores, vamos considerar os versores , e . Aplicando a igualdade do item (a), vamos ter essa expressão aqui:

Quando estamos trabalhando com versores, o produto interno e as normas são:

Ou seja:

Como a norma quadrada ali do lado esquerdo é sempre maior ou igual a zero:

Então:

Ao mesmo tempo, o maior valor possível da norma aconteceria se os três vetores unitários estivessem alinhados, formando um vetor do tipo:

Nesse caso, a norma quadrada seria:

Ou seja:

Substituindo com a fórmula de cima:

Pronto! Demonstramos os dois lados da desigualdade do enunciado:

(c) E o nosso próximo objetivo é verificar se é uma base no caso em que .

Vamos continuar pensando só em vetores unitários. Até porque se é base, então também é.

Se são uma base, então os três vetores têm que ser linearmente independentes. Ou seja, essa equação aqui:

Precisa ter como única solução.

Se a gente fizer o produto escalar da equação por dos dois lados:

Lembrando que e , já que o ângulo é o mesmo entre todos os vetores:

E fazendo a mesma coisa com os outros dois versores, ficamos com esse sistema aqui:

Podemos escrever esse sistema na forma matricial:

Se esse sistema só tem a solução trivial, então o nosso conjunto de vetores é linearmente independente, e são uma base.

Se existirem outras soluções, então o conjunto é linearmente dependente, e não forma uma base.

A melhor forma de verificar isso é calculando o determinante da matriz. Mas antes vamos chamar :

Quando o determinante é igual a zero, aí nós temos outras soluções além da trivial, e aí não temos uma base. Vamos ver quando isso acontece:

Para resolver equações do terceiro grau, muitas vezes temos que procurar a solução no chute mesmo. Já que , sabemos que vai estar entre e , isso já facilita bastante.

Depois de testar algumas coisas vamos achar duas raízes:

Outra forma de enxergar isso é fatorando o polinômio:

Então beleza, o nosso sistema só tem soluções além da solução trivial quando:

Ou seja, o conjunto é uma base quando em todos os casos, exceto quando os ângulos entre os vetores são iguais a ou .