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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 5.Exercício - Ex. 22

Na Figura 5.9, ||vec A M|| = 2 ||vec M B|| e 3 ||vec A N|| = ||vec N C|| . Exprima X em função de A, vec A B , vec A C .

Passo 1

Vamos que vamooos !!

Uma vez que os pontos C, X e M são colineares podemos utilizar a relação:

vec A X = (1 - alpha) vec A M + alpha vec A C

Onde alpha é uma constante real a ser determinada.

Então galerinha, o enunciado nos disse que:

vec A M = 2 vec M B -> vec A M = (2)/(3) vec A B

Se é assim a igualdade anterior ficaria como:

vec A X = (2)/(3) (1 - alpha) vec A B + alpha vec A C

Passo 2

Os pontos N, X e B também são colineares :

vec A X = (1 - beta) vec A N + beta vec A C

Onde beta é uma constante real a ser determinada.

Então galerinha, o enunciado nos disse que:

3 vec A N = vec N C -> vec A N = (1)/(4) vec A C

Se é assim a igualdade anterior ficaria como:

vec A X = (1)/(4) (1 - beta) vec A C + beta vec A B

Igualando o Passo 1 e 2:

(2)/(3) (1 - alpha) vec A B + alpha vec A C = (1)/(4) (1 - beta) vec A C + beta vec A B

Reorganizando:

(2)/(3) (1 - alpha) vec A B - beta vec A B = (1)/(4) (1 - beta) vec A C - alpha vec A C

[(2)/(3) (1 - alpha) - beta] vec A B = [(1)/(4) (1 - beta) - alpha] vec A C

Já que AB e AC não são paralelos, a equação anterior só pode ser verdadeira se os coeficientes dos dois vetores forem nulos:

(2)/(3) (1 - alpha) - beta = 0 -> (2)/(3) (1 - alpha) = beta

(1)/(4) (1 - beta) - alpha = 0

Substituindo o que achamos na primeira equação na segunda:

(1)/(4) (1 - (2)/(3) (1 - alpha)) - alpha = 0

(1)/(4) (1 - (2)/(3) + (2 alpha)/(3)) - alpha = 0

1 - (2)/(3) + (2 alpha)/(3) - 4 alpha = 0

3 - 2 + 2 alpha - 12 alpha = 0

1 = 1 0 alpha

alpha = (1)/(10)

Achando beta :

(2)/(3) (1 - (1)/(10)) = beta

(2)/(3) ((9)/(10)) = beta

beta = (18)/(30) = (3)/(5)

Substituindo na equação do Passo 1 ou do Passo 2:

vec A X = (2)/(3) (1 - (1)/(10)) vec A B + (1)/(10) vec A C

vec A X = (2)/(3) ((9)/(10)) vec A B + (1)/(10) vec A C

vec A X = (3)/(5) vec A B + (1)/(10) vec A C

Isolando o X:

X - A = (3)/(5) vec A B + (1)/(10) vec A C

X = A + (3)/(5) vec A B + (1)/(10) vec A C

Legal, não foi ??

Resposta

X = A + (3)/(5) vec A B + (1)/(10) vec A C

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