Obtenha o simétrico do Ponto P em relação ao plano π , nos casos:

b) P 1 ,   1 ,   1 ;     π :   4 y - 2 z + 3 = 0

Passo 1

Boom galerinhaa, vamos seguindo, ok?

De acordo com a equação do plano nós obtemos diretamente o seu vetor normal:

N → = ( 0 ,   4 ,   - 2 )

Com o vetor normal nós podemos definir a reta r perpendicular ao plano que passa pelo ponto P, não é?

r :     X = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 0 ,   4 ,   - 2 )

Agora, para determinar o ponto O, que é o ponto cujas coordenadas são a projeção ortogonal sobre o plano, basta encontrar a intersecção entre o plano e a reta r que acabamos de definir:

x = 1  

y = 1 + 4 λ  

z = 1 - 2 λ  

Substituindo x, y e z em função do λ na equação do plano:

  4 y - 2 z + 3 = 0

4 ( 1 + 4 λ   ) - 2 1 - 2 λ + 3 = 0

4 + 16 λ - 2 + 4 λ + 3 = 0

20 λ + 5 = 0

λ = - 5 20 = - 1 4

Então agora nós podemos descobrir os valores de x, y e z:

x = 1

y = 1 + 4 - 1 4 = 0  

z = 1 - 2 - 1 4 = 3 2  

Então o ponto O será 1 ,   0 , 3 2 .

Passo 2

Como nós já sabemos o ponto O nós podemos definir o vetor O P : -

O P - = P - O

O P - = 1 ,   1 ,   1 - 1 ,   0 , 3 2 = 0 ,   1 ,   - 1 2

Agora siiim !! Para achar o ponto simétrico ao ponto P em relação ao plano basta nós usarmos:

P ' = O - O P -

P ' = 1 ,   0 , 3 2 - 0 ,   1 ,   - 1 2

P ' = 1 , - 1 ,   2

Legal, não foi ??

Resposta

P ' = 1 , - 1 ,   2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados