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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 13

Seja { U 1 ,   . . .   ,   U n } uma base ortonormal de R n . Se A = [ U 1 ,   . . .   ,   U n ] é uma matriz n × n cujas colunas são os vetores U 1 ,   . . .   ,   U n , então A é invertível e A - 1 = A t . (Sugestão: mostre que A t A = I n .)

Passo 1

Tudo bem, gente? Prontos para mais um desafio? Então, vamos lá!

Seguindo a sugestão do enunciado, se a gente conseguir mostrar que A t A = I n , então A - 1 = A t porque, como vocês já sabem A - 1 A = I n . Temos

A t A = [ U 1 ,   . . .   ,   U n ] t [ U 1 ,   . . .   ,   U n ] =

⎜   U 1 2                           U 1 ⋅ U 2           ⋯                 U 1   ⋅ U n ⎜

⎜ U 2 ⋅ U 1                         U 2 2               ⋯                 U 2   ⋅ U n ⎜

⎜ ⋯                                 ⋯                 ⋯                         ⋯       ⎜

⎜ U n ⋅ U 1                 U n ⋅ U 2           ⋯                           U n 2       ⎜

Passo 2

Como a base é ortonormal, então o produto interno de vetores diferentes é nulo,   U 1 ⋅ U 2 = 0 por exemplo, e o produto interno de um vetor por ele mesmo é igual a um U 1 2     = U 2 2   =   ⋯   = U n 2   = 1 . Então,

A t A = [ U 1 ,   . . .   ,   U n ] t [ U 1 ,   . . .   ,   U n ] =

⎜     1                           0           ⋯               0     ⎜

⎜     0                           1           ⋯               0     ⎜

⎜ ⋯               ⋯       ⋯       ⋯   ⎜

⎜     0                           0           ⋯               1     ⎜

Ou seja, A t A = I n , que era exatamente o que a gente tinha que provar. Eu vou ficando por aqui, mas a gente se vê na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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