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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 9 i

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

2 x 2 - 6 y 2 - 3 z 2 - 24 y + 6 z - 27 = 0

Podemos somar 27 de cada lado:

2 x 2 - 6 y 2 - 3 z 2 - 24 y + 6 z = 27

Reorganizando, temos:

2 x 2 - 6 y 2 - 24 y - 3 z 2 + 6 z = 27

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

2 x 2 - 6 y 2 - 24 y - 3 z 2 + 6 z = 27

Reorganizando:

2 x 2 - 6 y 2 - 4 y - 3 z 2 + 2 z = 27

Temos y 2 e z 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esses complementos de a e b .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

2 x 2 - 6 y 2 - 4 y + a 2 - 3 z 2 + 2 z + b 2 = 27 - 6 a 2 - 3 b 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado.

Para y :

y 2 - 4 y + a 2 = y - a 2

- 4 y = 2 a y

a = - 2

Para z :

z 2 + 2 z + b 2 = x + b 2

2 z = 2 b z

z = 1

Voltando para nossa equação:

2 x 2 - 6 y 2 - 4 y + a 2 - 3 z 2 + 2 z + b 2 = 27 - 6 a 2 - 3 b 2

Vamos substituir nosso valor de a , b e c :

2 x 2 - 6 y 2 - 4 y + - 2 2 - 3 z 2 + 2 z + 1 2 = 27 - 6 - 2 2 - 3 ∙ 1 2

2 x 2 - 6 y 2 - 4 y + 4 - 3 z 2 + 2 z + 1 = 27 - 24 - 3

2 x 2 - 6 y 2 - 4 y + 4 - 3 z 2 + 2 z + 1 = 0

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

2 x 2 - 6 y - 2 2 - 3 z + 1 2 = 0

Vamos dividir em ambos os lados por 6 :

2 x 2 6 - 6 y - 2 2 6 - 3 z + 1 2 6 = 0

x 2 3 - y - 2 2 1 - z + 1 2 2 = 0

Substraindo x 2 3 de ambos os lados:

y - 2 2 1 + z + 1 2 2 = x 2 3

Agora sim, temos uma equação parecida que nos lembra uma das equações da superfície cônica elíptica (vou colocar as equações da superfície cônica elíptica para relembrarmos):

z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 ou y 2 = x 2 a 2 + z 2 c 2 ou x 2 = y 2 b 2 + z 2 c 2

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar os vértices:

V = 0 , - 2 , 1

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas uma, bora resolve-las?

Resposta

Superfície cônica elíptica, com vértice 0 , - 2,1 , eixo paralelo a O x

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Mostre que a hélice cônica x = tcos(t), y = tsen(t) e z = t está contida no cone de equação z 2 = x 2 + y 2 .
Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.g) f x - a z ,y - b z = 0
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada. b) x 2 - y 2 = 9
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada. b) r = 9 s e c ⁡ ( ∅ )
Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.b) z = - x 2 a 2 + y 2 b 2