Enunciado

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 6 x 2 - 4 x y + 9 y 2 - 4 5 x - 18 5 y = 5

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 6

b =   - 4

c = 9

e = - 4 5

f =   - 18 5

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 6 - 2 - 2 9

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 6 - λ - 2 - 2 9 - λ = λ 2 - 1 5 λ + 50

λ 2 - 1 5 λ + 50 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 5

λ 2 = 10

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 5 I 2 X   = 0 →

1 - 2 - 2 4 x y = 0 0

x - 2 y = 0

x = 2 y

Solução Geral:

W = 2 α , α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

4 α 2 + α 2 = 1

α =   ± 1 5

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 2 5 , 1 5

T = ( - 1 5 , 2 5 )

P = U , T = 2 5 - 1 5 1 5 2 5

Passo 5

e , f   x   P =   e 1 , f 1

- 4 5 - 18 5 x 2 5 - 1 5 1 5 2 5 = e 1 , f 1

e 1 , f 1 = [ - 2 6 ,   - 3 2 ]

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 6 x 2 - 4 x y + 9 y 2 - 4 5 x - 18 5 y = 5 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + e 1 x 1 + f 1 y 1 = 5

∁ : 5 x 1 2 + 10 y 1   2 - 26 x 1 - 32 y 1 = 5 ( ÷ 5 )

∁ : x 1 2 + 2 y 1   2 - 2 6 5 x 1 - 32 5 y 1 = 1

Equação de uma elipse.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : x 1 2 + 2 y 1   2 - 26 5 x 1 - 32 5 y 1 = 1

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Mostre que B ² − A C = 0 ² se, e somente se, A x ² + 2 B x y + C y ² = A x + B A y ² ² ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. b )17 x 2 - 312 x y+108 y 2 -590 x - 120 y +688=0
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. a )36 x ²+24 x y+29 y ²-120 x+10 y-55=0 ² ²
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. c )9 x 2 - 24 x y+16 y 2 +10 x - 55 y +171=0
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão. c )6 x 2 - 5 x y+y 2 - 17 x + 7 y +8=0