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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2 - Ex. 8

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 5 x 2 + 12 x y + 0 y 2 - 12 13 x + 0 y = 36

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 5

b =   12

c = 0

e = - 12 13

f =   0

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 5 6 6 0

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 5 - λ 6 6 0 - λ = λ 2 - 5 λ - 36

λ 2 - 5 λ - 36 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = - 4

λ 2 = 9

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A + 4 I 2 X   = 0 →

9 6 6 4 x y = 0 0

9 x + 6 y = 0

- 3 x = 2 y

Solução Geral:

W = 2 α , - 3 α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

4 α 2 + 9 α 2 = 1

α =   ± 1 13

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 2 13 , - 3 13

T = ( 3 13 , 2 13 )

P = U , T = 2 13 3 13 - 3 13 2 13

Passo 5

e , f   x   P =   e 1 , f 1

- 12 13 0 x 2 13 3 13 - 3 13 2 13 = e 1 , f 1

e 1 , f 1 = [ - 24 ,   - 36 ]

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 5 x 2 + 12 x y - 12 13 x = 36 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + e 1 x 1 + f 1 y 1 = 36

∁ : - 4 x 1 2 + 9 y 1   2 - 24 x 1 - 36 y 1 = 36 ( ÷ 36 )

∁ : - 1 9 x 1 2 + 1 4 y 1   2 - 2 3 x 1 - y 1 = 1

Equação de uma hipérbole.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : - 1 9 x 1 2 + 1 4 y 1   2 - 2 3 x 1 - y 1 = 1

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