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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2 - Ex. 6

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 9 x 2 + 6 x y + y 2 - 1 0 10 x + 10 10 y = - 90

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 9

b =   6

c = 1

e = - 1 0 10

f =   10 10

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 9 3 3 1

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 9 - λ 3 3 1 - λ = λ 2 - 10 λ

λ 2 - 10 λ = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 0

λ 2 = 10

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 0 I 2 X   = 0 →

9 3 3 1 x y = 0 0

9 x + 3 y = 0

- 3 x = y

Solução Geral:

W = α , - 3 α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

α 2 + 9 α 2 = 1

α =   ± 1 10

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 1 10 , - 3 10

T = ( 3 10 , 1 10 )

P = U , T = 1 10 3 10 - 3 10 1 10

Passo 5

e , f   x   P =   e 1 , f 1

- 1 0 10 10 10 x 1 10 3 10 - 3 10 1 10 = e 1 , f 1

e 1 , f 1 = [ - 40 , - 20 ]

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 9 x 2 + 6 x y + y 2 - 10 10 x + 10 10 y = - 90 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + e 1 x 1 + f 1 y 1 = - 90

∁ : 10 y 1   2 - 40 x 1 - 20 y 1 = - 90 ( ÷ - 90 )

∁ : - 1 9 y 1   2 + 2 9 y 1 = - 4 9 x 1 + 1

Equação de uma parábola.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : - 1 9 y 1   2 + 2 9 y 1 = - 4 9 x 1 + 1

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