Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos ( a , b , c ou p ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.

(d) 2 x 2 + 3 y 2 - 8 x + 6 y - 7 = 0

Passo 1

(d) Agora queremos resolver essa equação aqui:

2 x 2 + 3 y 2 - 8 x + 6 y - 7 = 0

Nessa equação não aparece nenhum termo misto, então podemos simplesmente completar quadrados para resolver.

Começamos com os termos que dependem só de x :

2 x 2 - 8 x = 2 x 2 - 4 x

Dê uma olhada nesse produto notável:

2 x - 2 2 = 2 x 2 - 8 x + 8

Então se a gente somar 8 dos dois lados da equação:

2 x 2 + 3 y 2 - 8 x + 6 y - 7 + 8 = 8

Podemos agrupar alguns termos:

2 x 2 - 8 x + 8 + 3 y 2 + 6 y - 7 = 8

Então:

2 x - 2 2 + 3 y 2 + 6 y - 7 = 8

Passo 2

Agora vamos fazer o mesmo para os termos que dependem de y :

3 y 2 + 6 y

E vamos usar esse produto notável aqui:

3 y + 1 2 = y 2 + 6 y + 3

Então, somando 3 dos dois lados:

2 x - 2 2 + 3 y 2 + 6 y - 7 + 3 = 8 + 3

2 x - 2 2 + 3 y + 1 2 - 7 = 11

Agora é só organizar um pouco:

2 x - 2 2 + 3 y + 1 2 = 18

Dividindo tudo por 18 :

x - 2 2 9 + y + 1 2 6 = 1

Que é a equação de uma elipse. Vamos tentar descobrir algumas das suas propriedades.

Passo 3

A forma geral da equação de uma elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Comparando com a nossa equação, logo podemos identificar alguns termos:

a 2 = 9         ⇒         a = 3 b 2 = 6         ⇒           b = 6 c 2 = a 2 - b 2 = 9 - 6 = 3

Quando a equação da elipse tem essa forma aqui:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Então o centro está no ponto x 0 , y 0 . Comparando com a nossa equação, deduzimos que a posição do centro C é:

C = 2 , - 1

E para calcular a posição dos vértices vamos fazer um desenho simples:

Além disso, os dois eixos da elipse são simplesmente as retas horitontal/vertical que passa pelo seu centro!

e i x o   1 :           x = x 0         ⇒             x = 2

e i x o   2 :         y = y 0         ⇒           y = - 1

E por último podemos cacular os focos a partir do parâmetro c = 3 que calculamos lá em cima.

Aqui é importante levar em consideração que o centro da elipse está deslocado por x 0 , y 0 :

F 1 = x 0 + c , y 0 = 2 + 3 , - 1

F 2 = x 0 - c , y 0 = 2 - 3 , - 1

Pronto! Nossa elipse foi totalmente classificada.

Resposta

A equação descreve uma elipse com equação x - 2 2 9 + y + 1 2 6 = 1 .

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