Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 8b
Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos (, , ou ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.
(b)
Passo 1
(b) Agora queremos resolver essa equação aqui:
Nosso primeiro objetivo aqui vai ser se livrar desse termo misto, o .
O primeiro passo pra fazer isso é dar nome para os coeficientes na equação. Lembrando que a forma geral é:
E a ideia aqui é aplicar uma rotação de coordenadas dessa forma aqui:
Mas vamos usar as fórmulas que o livro demonstra para facilitar essa conta. A ideia é transformar essa equação em uma nova com essa forma aqui:
Ok, vamos em frente.
Passo 2
Para encontrar o ângulo da nossa rotação, vamos usar essa fórmula aqui:
No nosso caso:
E para descobrir os coeficientes e da nova equação, temos que primeiro encontrar o . Dá pra fazer isso usando essa fórmula:
Agora é só resolver esse sistema aqui para encontrar e (lembrando que só estamos aplicando fórmulas aqui! Elas valem para qualquer caso de rotação de coordenadas):
Substituindo com os nosso valores:
Somando as duas equações:
E substituindo isso na primeira equação:
Então por enquanto a nossa equação está assim:
Ah, e a constante não muda com a rotação, então:
Passo 3
Também calculamos que o ângulo de rotação é tal que:
Temos que usar isso para descobrir e .
Usando algumas identidades trigonométricas, chegamos em outro sistema (que também faz parte das fómuls para resolver esse problema!)
Substituindo os valores:
Somando as duas equações:
E substituindo isso na segunda equação:
Aqui não estamos considerando a solução negativa, porque nesse método nós convencionamos que .
Passo 4
Agora que conhecemos esse valores podemos usar mais uma fórmula! Essa serve para calcular e :
Substituindo , e os valores que calculamos agora:
Resolvendo isso encontramos:
Então a nossa equação é:
Mas ainda podemos ajeitar um pouco.
Passo 5
A equação é:
Vamos completar quadrados:
Então, somando dos dois lados:
Dividindo tudo por :
Beleza, já dá pra ver que é a equação de uma hipérbole. Vamos procurar alguns dos seus parâmetros.
Passo 6
Só lembrando que nós aplicamos essa transformação de coordenadas aqui:
E como nós já calculamos o seno e o cosseno de :
Olhando para a nossa equação:
O centro no sistema de coordenadas novo é:
Então o centro no sistema antifo é:
E só olhando os denominadores na nossa equação, dá pra ver que os parâmetros são:
O primeiro foco, no sistema antigo, é:
E no sistema novo:
E para encontrar o segundo é só somar as coordenadas do centro da hiérbole:
Resposta
A equação descreve uma hipérbole de equação no sistema rotacionado.