Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 9
Associe a cada equação de cônica da coluna da esquerda as equações de cônicas congruentes a ela da coluna da direta.
(a) (A)
(b) (B)
(c) (C)
(d) (D)
(e) (E)
(f) (F)
(g) (G)
(h) (H)
Passo 1
(a) Começando pelo primeiro item:
Temos que nos livrar dos termos lineares, então temos que usar o método de completar quadrados.
Dê uma olhada nesse produto notável:
Somando nos dois lados da equação:
E para as variáveis que dependem de , vamos usar esse produto notável:
Somando dos dois lados:
Agora vamos usar uma translação de coordenadas:
Então:
Que é a equação (D).
Passo 2
(b) No segundo item:
Temos que usar o método de completar quadrados mais uma vez.
Dê uma olhada nesse produto notável:
Somando nos dois lados da equação:
E para as variáveis que dependem de , vamos usar esse produto notável:
Subtraindo dos dois lados:
Agora vamos usar uma translação de coordenadas:
Então:
Que é a equação (F).
Passo 3
(c) No terceiro item:
Vamos usar os mesmos métodos de antes. Para os valores que dependem de , veja esse produto notável:
Somando dos dois lados da equação:
E para as variáveis que dependem de , vamos usar esse produto notável:
Subtraindo dos dois lados:
Fazendo uma translação de coordenadas:
Então:
Que é a equação (C).
Passo 4
(d) No quarto item:
Vamos usar os mesmos métodos de antes. Mas dessa vez só precisamos eliminar os termos lineares em :
Somando dos dois lados:
Fazendo uma translação de coordenadas:
Escolhemos essa translação de para fazer com que aquele suma do lado direito, então:
Que é a equação (A).
Passo 5
(e) No quinto item:
Vamos tentar eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:
Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:
Temos que fazer uma rotação por um ângulo que segue essa fórmula aqui:
E então o é:
E agora temos que resolver o seguinte sistema:
Substituindo os valores:
Somando as duas equações:
E substituindo na primeira equação:
Então por enquanto nossa equação é:
Tá, a gente poderia ir adiante agora, mas não é necessário! Aqui já deu pra ver que a nossa equação, depois de rotacionada, vai ter só um termo quadrático.
Com isso só sobrariam as alternativas (A) ou (G). Mas o nosso termo quadrático é o , que está associado à variável pela rotação:
Ou seja, só pode ser a alternativa (A).
Então a equação (e) equivale à equação (A).
Passo 6
(f) No sexto item:
Vamos usar o mesmo método do item anterior:
Temos que eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:
Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:
Temos que fazer uma rotação por um ângulo que segue essa fórmula aqui:
E então o é:
E como , a solução é:
E agora temos que resolver o seguinte sistema:
Substituindo os valores:
Somando as duas equações:
E substituindo isso na segunda:
E para encontrar e temos que usar outro sistema de fórmulas:
Substituindo , e . Lembrando que:
Substituindo tudo isso na equação:
Dividindo tudo por :
Completando quadrados, podemos escrever isso como:
Agora é só fazer uma translação de coordenadas:
Então:
Que é a equação da alternativa (E)!
Isso quer dizer que a equação (f) corresponde à equação (E).
Passo 7
(g) No sétimo item:
Vamos usar o mesmo método do item anterior:
Temos que eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:
Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:
Temos que fazer uma rotação por um ângulo que segue essa fórmula aqui:
E então o é:
E agora temos que resolver o seguinte sistema:
Substituindo os valores:
Somando as duas equações:
E substituindo isso na segunda:
E para encontrar e temos que usar outro sistema:
Somando as duas equações:
E para encontrar e temos que usar outro sistema de fórmulas:
Substituindo , , e :
E então por enquanto a nosa equação é:
Dividindo tudo por :
Agora vamos completar quadrados para eliminar os termos lineares:
Agora é só aplicar uma translação de coordenadas:
Que é exatamente a equação da alternativa (H)!
Então a equação (g) corresponde à alternativa (H).
Passo 8
(h) E agora o último item:
Vamos usar o mesmo método do item anterior:
Temos que eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:
Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:
Temos que fazer uma rotação por um ângulo que segue essa fórmula aqui:
E então o é:
E agora temos que resolver o seguinte sistema:
Substituindo os valores:
Somando as duas equações:
E substituindo isso na segunda:
E para encontrar e temos que usar outro sistema:
Somando as duas equações:
E para encontrar e temos que usar outro sistema de fórmulas:
Substituindo , , e :
E então por enquanto a nosa equação é:
Vamos completar quadrados. Podemos transformar essa equação nessa outra aqui:
Dividindo tudo por :
E agora é só aplicar uma translação de coordenadas:
Ou seja, a nossa equação é:
E essa é a equação da alteranativa (G).
Então a equação (h) corresponde à alternativa (G).
Resposta
As correspondências são: ; ; ; ; ; ; ; .