Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 8c
Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos (, , ou ) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc.
(c)
Passo 1
(c) Agora queremos resolver essa equação aqui:
Assim como no item (a), aqui temos dois termos quadráticos, então pode ser uma boa ideia tentar resolver como uma equação do segundo grau.
Vamos escrever tudo como uma equaação em (poderia ser em também!):
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando um pouco:
Colocando em evidência dentro da raiz:
Tirando o da raiz:
E agora dividindo tudo por :
Passo 2
O problema dessa equação é que até podemos escrever o termo na raiz como produto notável:
Mas aparece um sinal negativo!
Se o termo na raiz ficar negativo, não teremos nenhuma solução real. A única forma de evitar isso é:
Multiplicando tudo por :
E essa é a única solução da nossa equação.
Passo 3
Para descobrir qual é o valor de que acompanha , é só substituir na equação:
E essa equação também é um produto notável:
E a solução para isso é:
Isso quer dizer que a única solução real da nossa equação é o ponto .
Resposta
A solução da equação é o conjunto unitário: .