Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 11.6 - Ex. 2
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:
Passo 1
Nessa equação, nós só temos termos em e em , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante deu zero, a equação representa uma parábola!
Passo 2
Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:
Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:
Resolvendo essa equação, vamos encontrar ou . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!
Então o vetor é autovetor associado a , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter .
Então o vetor é autovetor associado a , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter .
Passo 3
O próximo passo é substituir na equação matricial!
Desenvolvendo:
Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial .
Completando o quadrado, obtemos sua posição:
Resposta
Parábola de equação: