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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 36

Imponha uma condição aos coeficientes a , b , c e d para que o plano π : a x + b y + c z + d = 0 seja tangente à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 .

Passo 1

Se estamos falando sobre análise de posições relativas de uma esfera a alguma coisa, vamos sempre relacionar a distância do centro da superfície esférica até a nossa outra coisa.

No caso da questão, queremos analisar posição relativa de uma superfície esférica a um plano. Portanto, vamos calcular a distância da superfície esférica até o plano! Como queremos que o plano seja tangente a superfície, então, esta distância deve ser igual ao raio da esfera!

Portanto, temos que satisfazer a seguinte relação:

d C , π = ρ

Certo, mas quem é o centro da superfície esférica? Obtemos comparando a sua equação com a equação reduzida de qualquer superfície esférica:

S : x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ

Comparando ambas as equações, percebemos que x 0 = y 0 = z 0 = 0 . Portanto, o centro é C = 0,0 , 0 .

Passo 2

Agora que já temos todas as relações e coordenadas descritas, só precisamos calcular a distância do ponto ao plano. Portanto,

d C , π = ρ

a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c ⋅ 0 + d a 2 + b 2 + c 2 = ρ

d a 2 + b 2 + c 2 = ρ

Portanto, os coeficientes a ,   b ,   c   e   d   devem satisfazer a relação acima para que o plano seja tangente à superfície esférica.

Resposta

d a 2 + b 2 + c 2 = ρ

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Prove, no caso (b) da Proposição 24-26, que todo ponto de S 2 , diferente de T , é exterior a S 1 .
Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que é tangente aos planos π 1 : x = 2 z + 8 e π 2 : 2 x - z + 5 = 0 , cujo centro pertence à reta r : x + 2 = y = 0 .
Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 1 que são paralelos ao plano π : 2 x + y - z = 0
Obtenha a equação geral da superfície esférica que contém o ponto A = - 1,6 , - 3 e tangencia o plano π : 4 x + 4 y + 7 z - 96 = 0 em T = 7,3 , 8 .
Dado os pontos A = 3 , - 1 , - 2 e B = 1 , 1 , - 2 , obtenha equações do lugar geométrico dos pontos X tais que A B X seja equilátero. Descreva-o geometricamente.