Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 52
Dado os pontos e , obtenha equações do lugar geométrico dos pontos tais que seja equilátero. Descreva-o geometricamente.
Passo 1
A questão nos pede para determinar qual o lugar geométrico que o ponto pertence.
A única informação dada foi que o triângulo é equilátero. Desta informação, sabemos que todos os lados do triângulo são iguais. Logo,
Então, nosso trabalho é somente desenvolver o seguinte sistema:
Aaaaaaah! Não vamos esquecer de analisar o que a equação significa no espaço depois de obtê-la!
Passo 2
Vamos agora desenvolver a primeira relação do sistema. Portanto,
Agora, vamos elevar ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz. Com isto, temos:
Que consiste em uma superfície esférica centrada no ponto e de raio
Passo 3
Agora, vamos desenvolver a seguinte relação do sistema. Portanto,
O que consiste em um plano.
Passo 4
Para finalizarmos, obtemos o seguinte sistema:
Ele consiste na interseção de uma superfície esférica e um plano. Em outras palavras, temos uma circunferência.
Vamos determinar o centro e o raio dessa circunferência .
Para descobrimos a coordenas do centro da circunferência, precisamos construir uma reta que passa pelo ponto , centro da superfície esférica, e tem vetor diretor o vetor normal ao plano . Portanto,
Agora, vamos obter a interseção desta reta com o plano. Substituindo as coordenadas do ponto na equação do plano, temos:
Portanto, o ponto será o centro da circunferência .
Agora, vamos calcular o raio da circunferência. Para isto, usamos a seguinte expressão:
Só nos resta calcular esta distância do centro ao plano . Portanto,
Portanto,
Resposta
Circunferência de centro e raio .