Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 45

Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 1 que são paralelos ao plano π : 2 x + y - z = 0

Passo 1

Para resolvermos esta questão, precisamos obter algumas relações entre planos tangentes. Como queremos um plano tangente ao plano π , basta variarmos o valor do d . Isto é:

π : 2 x + y - z + d = 0

E como faremos para descobrir o valor deste d ?

Vamos fazer o seguinte. Sabemos que o plano tangencia a superfície esférica. Por definição, sabemos que a distância do centro da esfera até o plano é igual ao raio da superfície. Em outras palavras,

d C , π = ρ = 1

Como o centro C = 1,2 , 0 já nos foi dado, basta calcularmos a distância do ponto ao plano e verificar o valor de d para que seja igual a 1.

Passo 2

Vamos agora calcular a distância do centro da superfície até o plano π . Portanto,

d C , π = 2 1 + 2 - 0 + d 2 2 + 1 2 + - 1 2

d C , π = 2 + 2 - 0 + d 4 + 1 + 1

d C , π = 4 + d 6

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

d C , π = 1

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

d C , π 2 = 1 2

4 + d 6 2 = 1 2

16 + 8 d + d 2 6 = 1

d 2 + 8 d + 16 = 6

d 2 + 8 d + 10 = 0

Resolvendo esta equação, vamos obter que:

d = - 8 ± 64 - 40 2 = - 8 ± 24 2

d = - 8 ± 2 6 2 = - 4 ± 3

Obtemos duas soluções, o que equivalem a dois planos distintos. Substituindo os valores na equação do plano, obteremos:

π 1 : 2 x + y - z - 4 + 3 = 0

π 2 : 2 x + y - z - 4 - 3 = 0

Resposta

π 1 : 2 x + y - z - 4 + 3 = 0

π 2 : 2 x + y - z - 4 - 3 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

( a ) Sejam S a superfície esférica de centro C e raio ρ , e π , o plano tangente a S em T . Prove que todos os pontos de S , exceto T , pertencem ao semi-espaço aberto de origem π que contém C (isto
Obtenha uma equação geral do plano paralelo ao plano π : x - 2 y - z = 0 , que determina na superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 2 z = 0 uma circunferência de raio 3 / 2 .
Determine os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência Γ : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 3 = 0 x + y + z = 1 Sabendo que um deles pertence à reta r : X = ( - 1,1 ,1 / 3 ) + λ 2
Prove que o plano radical de duas superfícies esféricas não-concêntricas é o lugar geométrico dos pontos de igual potência em relação a essas superfícies (veja o Exercício 24-21).Qual é esse lugar geo
Demonstre a Proposição 24-27