Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 40
Obtenha a equação geral da superfície esférica que contém o ponto e tangencia o plano em .
Passo 1
A equação reduzida de uma superfície esférica possui a seguinte forma:
Sabemos que a esfera tangencia o plano e também sabemos qual o ponto de tangência! A sacada para resolvermos a questão é construirmos uma reta normal ao plano no ponto . Portanto, seja o vetor normal ao plano , a reta será:
Portanto, qualquer ponto desta reta terá coordenadas . Certo, mas qual o motivo disto ser a sacada da questão?
A resposta desta pergunta é que, algum ponto desta reta será o centro da esfera! Portanto, existe algum que faça o ser o centro da reta!
E com este ponto , podemos fazer ! Temos então que resolver estas relações de distâncias agora!
Passo 2
Vamos agora obter as relações de distâncias. Começando pela distância de até . Portanto,
Agora, vamos fazer distância do ponto até o plano. Portanto,
Agora, só resolvermos a seguinte equação:
Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos esta raiz e módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,
Portanto, o centro será . E o raio será:
Portanto, a equação reduzida da superfície será:
E para chegarmos na equação geral, conforme vista no Passo 1, é só expandirmos a equação. Portanto,