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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 7

Lembrando que m 2 -   n 2 =   m   +   n m   –   n , mostre que x   –   x 2 - a 2     = a 2 x +   x 2 - a 2   e use este fato para concluir que, atribuindo a x valores muito grandes em módulo, o ponto ( x , b a x   ) na assíntota da hipérbole H   : x 2 a ²   - y ² b ²   1 torna-se tão próximo quando se queira do ponto de H com mesma abcissa x e mesmo sinal de ordenada. (Noutros termos: quando x   →   + ∞   o u   x   →   - ∞ , a hipérbole se aproxima arbitrariamente de suas assíntotas.)

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Esse exercício parece difícil mas é bem tranquilo, tudo que temos que mostrar é que:

x   –   x 2 - a 2     = a 2 x +   x 2 - a 2

Para isso a questão dá algumas sugestões que não são necessárias dependendo da maneira que você escolha resolver.

Preparado?

Passo 2

Inicialmente começaremos supondo que ambas são iguais.

x   –   x 2 - a 2     = a 2 x +   x 2 - a 2

Aplicando meio por extremo:

a 2 . 1 = ( x   –   x 2 - a 2     ) ( x +   x 2 - a 2     )

a 2 = ( x   –   x 2 - a 2     ) ( x +   x 2 - a 2     )

a 2 = x 2 + x   x 2 - a 2   -     x x 2 - a 2 - ( x 2 - a 2   ) ²

a 2 = x 2 - ( x 2 - a 2   ) ²

a 2 = x 2 - x 2 + a ²

a 2 = a ²

Com isso provamos que ambas as relações são iguais e obedecem as condições sugeridas pelo problema.

Resposta

a 2 = a ²

Com isso provamos que ambas as relações são iguais e obedecem as condições sugeridas pelo problema.

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