Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 57
Encontrar uma equação da hipérbole de excentricidade e foco coincidentes com os focos da elipse .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D
Pra começar, você identifica que temos uma elipse deitada? O semi eixo maior está embaixo do , então isso significa que . Temos também que . E lembrando da equação geral da elipse conseguimos encontrar o valor de :
Então temos que a distancia do centro até o foco é . Os pontos dos focos são e .
Beleza?
Passo 2
A equação geral de uma hipérbole deitada é:
E a distância do centro até o foco também é , e vale , mas esse valor não nos ajuda na escrita dessa equação! Puxa vida, e agora?
Calma! O problema fala que a nossa hipérbole deve ter excentricidade igual a , então a razão deve ser . Daqui tiramos o valor de :
Oba! Temos um dos parâmetros necessários da equação. O outro encontraremos através da relação fundamental da hipérbole:
Beleza até aqui?
Passo 3
Agora vou te relembrar o que fizemos até aqui: temos o centro , os parâmetros da hipérbole. Como ela é centrada na origem, não precisamos deslocar ela na equação. A equação geral é:
Substituindo e temos:
Pronto! Conseguimos escrever a equação para essa elipse!
Espero ter ajudado!
Vamos pra próxima?