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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 3

Losango é um paralelogramo cujos lados têm a mesma medida e as diagonais são perpendiculares. A , B , C e D são os vértices consecutivos de um losango. A   =   ( - 1 , - 1,0 ) , B =   ( 1,4 , a ) e C   =   ( 3,1 , 2 ) . Determine a e as coordenadas do vértice D .

Passo 1

Vamos começar essa questão identificando alguns dos vetores com os pontos que já temos:

A B → = B - A = ( 1,4 , a ) - ( - 1 , - 1,0 ) = ( 2,5 , a )

A C → = C - A = ( 3,1 , 2 ) - ( - 1 , - 1,0 ) = ( 4,2 , 2 )

C B → = B - C = ( 1,4 , a ) - ( 3,1 , 2 ) = ( - 2,3 , a - 2 )

Passo 2

Usando as regras de soma vetorial, podemos calcular:

B D → = B A → + B C → = - A B → - C B → = - ( 2,5 , a ) - ( - 2,3 , a - 2 ) = ( 0 , - 8,2 - 2 a )

Por outro lado, temos

B D → = D - B

⇒ D = B D → + B = ( 0 , - 8,2 - 2 a ) + ( 1,4 , a ) = ( 1 , - 4,2 - a )

Agora, só precisamos determinar o valor de a .

Passo 3

As diagonais A C → e B D → devem ser ortogonais, então

A C → ⋅ B D → = 0

⇒ ( 4,2 , 2 ) ⋅ ( 0 , - 8,2 - 2 a ) = 0

⇒ - 16 + 4 - 4 a = 0

⇒ - 12 = 4 a ⇒ a = - 3

Agora, substituímos esse valor na equação do ponto D :

D = ( 1 , - 4,2 - a ) = ( 1 , - 4,5 )

Resposta

a = - 3

D = ( 1 , - 4,5 )

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