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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 6

Ache os planos paralelos ao plano x   - 2 y   - z   = 0 e que são tangentes à superfície esférica x 2   +   y 2 + z 2   - 2 y   - 4 y     + 4   = 0 .

Passo 1

E aí galerinha? Essa parece difícil, e você provavelmente já quebrou bastante a cabeça. Mas não desanime porque, na verdade, essa questão tem um erro de digitação. A superfície esférica na verdade é

x 2   +   y 2 + z 2   - 2 y   - 4     z + 4   = 0

Agora, vamos reescrever essa equação na forma reduzida:

x 2   +   y 2 - 2 y + z 2   - 4     z + 4   = 0

x 2   +   y 2 - 2 y + ( z - 2 ) 2 = 0

x 2   +   y 2 - 2 y + 1 + ( z - 2 ) 2 - 1 = 0   ( S o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   1 )

x 2   + ( y - 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 1

com isso descobrimos o ponto central da esfera: C   =   ( 0,1 , 2 ) .

Agora, precisamos achar dois planos π 1 e π 2 que serão paralelos ao plano π :   x   - 2 y   - z   = 0 , cujo vetor normal é dado por n →   =   ( 1 , - 2 , - 1 ) . Esses planos podem ser escritos como

π 1   : x   - 2 y   - z     +   d 1   =   0

π 2   :   x   - 2 y   - z     +   d 2   =   0

Com isso, dado um ponto P 1   =   ( x 1 , y 1 , z 1 ) pertencente ao plano π 1 , temos um vetor C P → 1   que será paralelo ao vetor normal n →   . Assim,

C P → 1   =   α n →   ⇒   ( x 1 ,   y 1 - 3 ,   z 1 )   =   α ( 1 , - 2 , - 1 )

Pelo módulo desse vetor, que tem que ser igual ao raio ao quadrado, descobrimos

  | α ( 1 , - 2 , - 1 ) | 2 = 1 ⇒ α 2 ( 1 + 4 + 1 ) = 1 ⇒ 6 α 2 = 1 ⇒ α = ± 1 6 = ± 6 6

Encontramos dois valores de α : um deles será válido para o plano π 1 e o outro para o π 2 . Então, já podemos fazer os dois cálculos de uma vez só. Para isso, vamos renomear P 1   = P . Então, ficamos com

C P →   = ± 6 6 ( 1 , - 2 , - 1 )  

Com isso, podemos obter as coordenadas do ponto P :

P   = C P →     + C   =   ( ± 6 6 , ∓ 2 6 6 + 1 , ∓ 6 6 + 2 )

Substituindo P em π nos fornece d (lembrando que agora π representa os dois planos):

π   : x   - 2 y   - z     +   d   =   0

π   : ± 6 6   - 2   ∓ 2 6 6 + 1 - ∓ 6 6 + 2 +   d   =   0

π   : ± 6 6   ± 4 6 6 - 2 ± 6 6 - 2 +   d   =   0

π   : ± 6 6 6   - 4 +   d   =   0

⇒   d = + 4 ∓ 6  

Ótimo! Agora só temos que substituir o último resultado na equação dos planos:

π   : x   - 2 y   - z     + 4 ± 6   =   0

Resposta

π   : x   - 2 y   - z     + 4 ± 6   =   0

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