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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 2

A , B , C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo, sendo A   =   ( 1 , - 3,2 ) , B =   ( 0,6 , - 3 ) e C   =   ( 5,1 , 4 ) .

  1. Determine as coordenadas do ponto D
  2. Mostre que as diagonais A C → e B D → têm o mesmo ponto médio.

Passo 1

  1. E aí, jovens? Para determinar o ponto D, temos que notar que temos um paralelogramo, ou seja, lados opostos tem mesmo tamanho. Assim

    2. D C → = A B → = B - A = ( 0,6 , - 3 ) - ( 1 , - 3,2 ) = ( - 1,9 , - 5 )

    Por outro lado,

    D C → = C - D

    então

    D = C - D C → = ( 5,1 , 4 ) - ( - 1,9 , - 5 ) = ( 6 , - 8,9 )

    Passo 2

  2. Para mostrar que as diagonais A C → e B D → têm o mesmo ponto médio. Vamos supor que as diagonais não tenham o mesmo ponto médio e que seus pontos médios são M e N .

Assim, temos que mostrar que

A M → = A B → + B N →

porque isso quer dizer que M = N .

Vamos começar escrevendo

A M → = 1 2 A C → = 1 2 ( A B → + B C → )

Além disso,

B N → = 1 2 B D → = 1 2 ( B C → + C D → ) = 1 2 ( B C → - D C → ) = 1 2 ( B C → - A B → )

Vamos substituir esse resultado na equação:

A B → + B N → = A B → + 1 2 ( B C → - A B → ) = 1 2 ( A B → + B C → ) = A M →

Que é justamente o que queríamos mostrar.

Resposta

  1. D = ( 6 , - 8,9 )
  2. Veja a resolução acima.

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