Enunciado

No tetraedro A B C D , temos A B →   =   ( 7,7 , - 7 )   , A C →   =   ( 9,5 , - 10 )   e A D →   = ( 11,7 , - 1 ) . Calcule a altura do tetraedro relativa ao vértice A .

Passo 1

Uma informação muito importante para a gente conseguir resolver essa questão é que a altura do tetraedro é igual a três vezes o volume dividido pela área da base pois

V = 1 3 h A ⇒ h = 3 V A

onde A é a área da base.

Então, se soubermos o volume e a área da base, só precisamos dividir um pelo outro e multiplicar por 3 e teremos a altura. Felizmente calcular o volume é simples, só precisamos do produto misto

⇒ [ A B , → A C → , A D → ] = 7 ( 65 ) - 7 ( 101 ) - 7 ( 8 ) = 7 ( 65 - 101 - 8 ) = 7 ⋅ ( - 44 ) = - 308

O volume do tetraedro é dado pelo módulo desse produto misto dividido por 6:

V = 1 6 | [ A B , → A C → , A D → ] | = 308 6 = 154 3 = 2 ⋅ 7 ⋅ 11 3

Passo 2

Beleza, já temos o volume. Mas e quanto a área da base? A base que estamos considerando é aquela que não contém o vértice A, ou seja BCD. Assim, precisamos dos seguintes vetores:

B C →   = B A → + A C → = - A B → + A C → = -   ( 7,7 , - 7 ) +   ( 9,5 , - 10 ) = ( 2 , - 2 , - 3 )  

B D →   = B A → + A D → = - A B → + A D → = -   ( 7,7 , - 7 ) + ( 11,7 , - 1 ) = ( 4,0 , 6 )

Como a base é triangular, então a sua área é metade do módulo do produto vetorial de dois vetores que representam as arestas. Não se preocupe se parece complicado, na verdade só queremos dizer

A = 1 2 | B C → ∧ B D → |

Vamos calcular o produto vetorial separadamente:

Logo,

A = 1 2 | B C → ∧ B D → | = 1 2 1 2 2 + 2 4 2 + 8 2 = 1 2 144 + 576 + 64 = 1 2 784 = 28 2 = 14

Passo 3

Agora chegamos ao tão aguardado momento de obter a altura. Vamos substituir os resultados dos passos anteriores em

h = 3 V A = 3 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 1 14 = 11

Resposta

h = 11

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o volume de tetraedro de base A B C e vértice P , sendo A 2,0 , 0 ,B 2,4 , 0 ,C 0,3 , 0 eP ( 2 , - 2,9 ) . Qual a altura relativa ao vértice P ?
2. Sabendo que (u , v , w) = - 5 , calculara) (w , v , u) b) (v , u , w) c) (w , u , v) d) v * (w xx u)
3. Sabendo que u * (v xx w) = 2 , calculara) u * (w xx v) b) v * (w xx u) c) (v xx w) * u d) (u xx w) * (3 v) e) u * (2 w xx v) f) (u + v) * (u xx w)
2. Sabendo que (u , v , w) = - 5 , calculara) (w , v , u) b) (v , u , w) c) (w , u , v) d) v * (w xx u)
3. Sabendo que u * (v xx w) = 2 , calculara) u * (w xx v) b) v * (w xx u) c) (v xx w) * u d) (u xx w) * (3 v) e) u * (2 w xx v) f) (u + v) * (u xx w)