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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 16a

Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.

  1. Mostre que se

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n

é uma matriz mxn, então A E j é igual à coluna j da matriz A.

Passo 1

Demonstrando por etapas, podemos analisar inicialmente uma matriz A 1x2:

A =   a 11 a 12

Multiplicando por uma matriz E 1 , 2x1:

A E 1 =   a 11 a 12 ∙ 1 0

A E 1 = a 11

Já multiplicando por E 2 , 2x1:

A E 2 =   a 11 a 12 ∙ 0 1

A E 2 = a 12

Passo 2

Analisando agora uma matriz A 2x2:

A =   a 11 a 12 a 2 1 a 22

Multiplicando por uma matriz E 1 , 2x1:

A E 1 =   a 11 a 12 a 21 a 22 ∙ 1 0

A E 1 = a 11 a 21

Já multiplicando por E 2 , 2x1:

A E 2 =   a 11 a 12 a 21 a 22 ∙ 0 1

A E 2 = a 12 a 22

Passo 3

Por fim, exemplificando com uma matriz maior, A, 3x4

A =   a 11 a 1 2 a 13 a 14 a 21 a 2 2 a 23 a 24 a 31 a 3 2 a 33 a 34

Multiplicando por E 1 , 4x1:

A E 1 =   a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 ∙ 1 0 0 0

A E 1 =   a 11 a 21 a 31

Multiplicando por E 2 , 4x1:

A E 2 =   a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 ∙ 0 1 0 0

A E 2 =   a 12 a 22 a 32

Multiplicando por E 3 , 4x1:

A E 3 =   a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 ∙ 0 0 1 0

A E 3 =   a 13 a 23 a 33

Multiplicando por E 4 , 4x1:

A E 4 =   a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 ∙ 0 0 0 1

A E 4 =   a 1 4 a 24 a 34

Resposta

Generalizando:

A E j = a 1 j a 2 j ⋮ a m j

Exercícios de Livros Relacionados

Se A é uma matriz triangular superior, então A ' é igual a?
Se A é uma matriz diagonal, então A ' é igual a?
Dados A = [[[1,-,3,2],[2,1,-,3],[4,-,3,-,1]]] , B = [[[1,4],[2,1],[1,-,2]] [[1,0],[1,1],[1,2]]] e C = [[[2,1],[3,-,2],[2,-,5]] [[-,1,-,2],[-,1,-,1],[-,1,0]]] mostre que A B = A C .
Seja A = [[[2,x^2],[2,x,-,1,0]]] . Se A^' = A , então quanto é x ?
Ache x , y , z , w se [[[x,y],[z,w]]] [[[2,3],[3,4]]] = [[[1,0],[0,1]]] .