Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 3

Em cada parte, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade

Passo 1

Então galerinha, nesse caso aqui a gente tá afim de encontrar a operação elementar que faz com que nossa matriz se torne a identidade ok?! E quem que é essas operações elementares?! São essas aqui ó:

Multiplicar uma linha inteira por um constante não nula.
Trocar duas linhas entre si.
Somar uma linha a outra linha quantas vezes necessárias.

Iradoso, mas é só isso que nois precisa encontrar?! NÃOOO!! A gente também quer encontrar a matriz que realiza essa operação do tipo:

Ou seja, nossa matriz é a matriz do exercício, e a matriz é a matriz que leva na identidade e é ela quem queremos encontrar. #Partiu

Passo 2

Nossa letra (a) tem a matriz:

Pra transformar essa matriz ai na matriz identidade, a gente precisa tirar aquele da primeira linha. Pra isso a gente pode somar a linha 1 com mais 3 vezes a linha 2 que fica tudo uma maravilha. Desse jeito:

Logo nossa equação que faz a matriz A se tornar a identidade é:

Agora pra encontrarmos nossa matriz a gente só precisa montar seus elementos de acordo com a operação elementar que a gente fez:

E a gente pode fazer esse processo direto, apenas observando a equação ligada a operação, perceba que nossa equação soma a segunda linha com a primeira linha 3 vezes, e isso acontece apenas na primeira linha, logo nossa matriz vai ser disposta de tal maneira que realize essa operação.

Passo 3

Nossa letra (b) traz a matriz:

Nessa aqui, a gente só precisa dividir a primeira linha por que fica show de bola. Então nossa equação é:

Belezinha, como nossa operação é essa que acabamos de encontrar, a matriz que satisfaz a igualdade , é:

Passo 4

Agora na nossa letra (c) a matriz que a gente tem é essa aqui:

E pra gente transformar ela na identidade, basta somar a linha 3 com mais 5 vezes a linha 1. Logo nossa equação fica assim ó:

Com nossa operação em mãos, agora é só encontrar a matriz . Já que nossa operação acontece na linha 3 e a gente tá somando 5 vezes a linha 1, nossa matriz vai acrescentar um 5 no elemento referente a terceira linha, desse jeito aqui ó:

Passo 5

Agora chegamos na famigerada letra (d) e nossa matriz é:

E nessa aqui, a gente já vê logo de cara que se trocarmos a linha 1 com a linha 3, pronto, chegamos na identidade. Então nossa equação que transforma nossa matriz na elementar é:

E agora fica o bizusinho do RespondeAi, sempre que nossa operação for uma troca de linha, a matriz que representa essa operação é a mesma matriz que recebe essa operação, ou seja, se nossa matriz é: