A matriz do Exercício 29.[[[-,3,1],[2,2]]]

[[[-,3,1],[2,2]]]^(- 1) = [[[1,0],[-,1,1]]] [[[-,(1)/(4),0],[0,1]]] [[[1,-,1],[0,1]]] [[[1,0],[0,(1)/(2)]]] = [[[-,(1)/(4),(1)/(8)],[(1)/(4),(3)/(8)]]]

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 33

A matriz do Exercício 29.

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, na sequência de exercícios anteriores escrevemos as matrizes como um produto de matrizes elementares, só que agora a gente tá afim de encontrar a inversa dessa mesma matriz escrita também na forma de um produto de matrizes. A malandragem aqui é a gente lembrar do Teorema 1.4.6, que diz que “Se e são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então é invertível e ”, e esse teorema se estende pra um produto entre um número maior de matrizes do tipo . Como já descobrimos a matriz escrita na forma de produto de matrizes elementares de modo que, sendo a matriz , temos , . Agora que ficou tudo bonito, vamo aplicar na matriz.

Passo 2

Dada a matriz

Temos que ela escrita na forma de produto de matrizes elementares é

Logo

Então agora só precisamos encontrar a inversa dessas matrizes elementares, só que a inversa de uma matriz elementar também é elementar, logo nossa inversa também já vai estar escrita como um produto de matrizes elementares. E outro detalhe muito importante é que como queremos inverter uma matriz elementar, é só descobrirmos a operação elementar dela, sua inversa vai ser justamente a matriz que desfaz a operação.

Passo 3

Dessa forma as inversas vão ser

Ou seja, se a matriz multiplicava a linha 2, a sua inversa agora vai dividir essa mesma linha. Da mesma maneira vai acontecer com as outras matrizes e operações elementares.